Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Procesy Stochastyczne ()
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-004-MN-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
0
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Kot Piotr (Piotr.Kot@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Modelowanie matematyczne wykorzystujące teorię procesów stochastycznych.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii procesów stochastycznych: martyngał, półmartyngał, proces Wienera, proces Markowa, MAT2A_W05, MAT2A_W04 Odpowiedź ustna,
Kolokwium,
Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_W002 zna przykłady modelowania matematycznego wykorzystującego teorię procesów stochastycznych MAT2A_W08, MAT2A_W07 Odpowiedź ustna,
Kolokwium,
Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_W003 zna najważniejsze twierdzenia z teorii procesów stochastycznych MAT2A_W05 Egzamin
Umiejętności: potrafi
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń MAT2A_U04, MAT2A_U02, MAT2A_U01 Odpowiedź ustna,
Kolokwium,
Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, rachunek prawdopodobieństwa) MAT2A_U04 Odpowiedź ustna,
Kolokwium,
Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_U003 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii procesów stochastycznych MAT2A_U04, MAT2A_U02, MAT2A_U01 Odpowiedź ustna,
Kolokwium,
Egzamin,
Aktywność na zajęciach
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania MAT2A_K01 Odpowiedź ustna,
Egzamin,
Aktywność na zajęciach
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii procesów stochastycznych: martyngał, półmartyngał, proces Wienera, proces Markowa, + + - - - - - - - - -
M_W002 zna przykłady modelowania matematycznego wykorzystującego teorię procesów stochastycznych + + - - - - - - - - -
M_W003 zna najważniejsze twierdzenia z teorii procesów stochastycznych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń + + - - - - - - - - -
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, rachunek prawdopodobieństwa) + + - - - - - - - - -
M_U003 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii procesów stochastycznych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 102 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 10 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Przestrzeń probabilistyczna, zmienna losowa, jej rozkład. Wielowymiarowe zmienne losowe i ich przykłady (wielowymiarowy rozkład normalny). Rozkłady funkcji jedno- i wielowymiarowych zmiennych losowych. Funkcja charakterystyczna i jej zastosowanie do wyznaczenia rozkładu. Tansformata Laplace’a.

2. Warunkowa wartość oczekiwana: Przypomnienie definicji gdy warunkiem jest zdarzenie, zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym, partycja, sigma-ciało, dowolna zmienna losowa.

3. Warunkowa wartość oczekiwana jako projekcja w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem. Własności warunkowej wartości oczekiwanej.

4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych i ich rozkładów oraz ich związki. Twierdzenia graniczne (bd.). Twierdzenia o zbieżności dla warunkowych wartości oczekiwanych. Nierówność Jensena.

5. Martyngały w czasie dyskretnym. Definicja procesu stochastycznego w czasie dyskretnym, trajektorie, rozkłady, filtracja generowana przez proces. Proces adaptowany, przewidywalny. Definicja martyngału, submartyngału, supermartyngału. Przykłady.

6. Momenty zatrzymania, proces zastopowany. Twierdzenie o opcjonalnym stopowaniu. Błądzenie przypadkowe, własności momentu pierwszego przejścia przez barierę.

7. Maksymalna nierówność Dooba. Własność liczby przekroczeń. Twierdzenie Dooba o zbieżności supermartyngału. Jednostajnie całkowalne martyngały, zbieżność. Twierdzenie 0-1 Kołmogorowa (bd.).

8. Łańcuchy Markowa. Definicja i przykłady. Klasyfikacja stanów. Twierdzenie graniczne

9. Procesy w czasie ciągłym. Definicja, trajektorie, filtracja, procesy adaptowane. Regularność procesów. Twierdzenie Kołmogorowa o trajektoriach ciągłych (bd.).
Martyngały w czasie ciągłym, nierówności Dooba (bd.). Proces Poissona.

10. Proces Wienera. Skalowane błądzenie przypadkowe. Definicja procesu Wienera. Konstrukcje procesu Wienera przez twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych oraz z użyciem falek (bd).

11. Własności trajektorii. Wariacja i wariacja kwadratowa procesu Wienera. Twierdzenie Dooba-Meyera (bd.)

12. Całka stochastyczna Ito. Definicja dla funkcji schodkowych w klasie procesów całkowalnych z kwadratem . Aproksymacja procesów procesami schodkowymi.
Własności całki: liniowość, izometria.

13. Definicja procesu Ito. Wzór Ito i jego zastosowania

14. Dowód wzoru Ito dla przypadku Y(t)=f(W(t)).
Ćwiczenia: rozwiązywanie zadań ilustrujących treści kolejnych wykładów.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

W przypadku braku zaliczenia z ćwiczeń w pierwszym terminie, student ma prawo do dwóch zaliczeń poprawkowych, których sposób przeprowadzenia ustala osoba prowadząca ćwiczenia.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,

OK = OC

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Studentowi, który nie uzyskał zaliczenia przysługuje tylko jeden termin zaliczenia poprawkowego.
Zaliczenia poprawkowe nie może być ocenione na ocenę wyższą niż 3.0.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. Z.Brzeźniak, T.Zastawniak, Basic Stochastic Processes, Springer 2000.
  2. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script 2004.
  3. S. Peszat, Procesy stochastyczne (notatki do wykładu w formie pliku pdf).
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

On analytic functions with divergent series of Taylor coefficients / Piotr KOT // Complex Analysis and Operator Theory ; ISSN 1661-8254. — 2018 vol. 12 iss. 5, s. 1237–1249. — Bibliogr. s. 1248–1249, Abstr.. — Publikacja dostępna online od: 2017-10-31. — tekst: https://link-1springer-1com-1nyztljxr10b5.wbg2.bg.agh.edu.pl/content/pdf/10.1007%2Fs11785-017-0742-9.pdf

Informacje dodatkowe:

Brak