Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Elementy Teorii Aproksymacji
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-020-MN-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
0
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Mielczarek Dominik (dmielcza@wms.mat.agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć
Pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) aproksymacyjne w przestrzeni liniowej unormowanej i przestrzeni Hilberta. Funkcje gięte. Wielomiany ortogonalne.
Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) aproksymacyjne w przestrzeni liniowej unormowanej i przestrzeni Hilberta MAT2A_W04, MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) teorii funkcji giętych MAT2A_W04, MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Umie wykorzystać twierdzenia i metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych w zagadnieniach wyznaczania elementów najlepszej aproksymacji MAT2A_U13 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Umie wyznaczać szereg Fouriera danej funkcji MAT2A_U13 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia MAT2A_K02, MAT2A_K01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) aproksymacyjne w przestrzeni liniowej unormowanej i przestrzeni Hilberta + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) teorii funkcji giętych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Umie wykorzystać twierdzenia i metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych w zagadnieniach wyznaczania elementów najlepszej aproksymacji + + - - - - - - - - -
M_U002 Umie wyznaczać szereg Fouriera danej funkcji + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 32 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 51 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):
  1. Aproksymacja w przestrzeni unormowanej

    Podstawowe twierdzenie aproksymacyjne w przestrzeni
    liniowej unormowanej. Własności najlepszej aproksymacji.

  2. Maksymalne funkcjonały liniowe

    Aproksymacja jednostajna funkcji ciągłych.

  3. Aproksymacja w przestrzeni Hilberta

    Twierdzenie aproksymacyjne w przestrzeni Hilberta.Układy
    ortonormalne, nierówność Bessla, równość Parsevala.

  4. Twierdzenie Haara-Kołmogorowa

    Twierdzenie Haara-Kołmogorowa o jednoznaczności. Wielomiany algebraiczne i trygonometryczne najlepszej aproksymacji. Wielomiany Czebyszewa.

  5. Charakteryzacja elementów optymalnych w przestrzeni funkcji ciągłych na zbiorach zwartych

    Twierdzenie Kołmogorowa. Warunek Haara, układy Czebyszewa.

  6. Twierdzenie o zbieżności szeregu Fouriera Funkcje o wahaniu skończonym, Twierdzenie o zbieżności szeregu Fouriera funkcji o wahaniu ograniczonym (bd). Twierdzenie Fejera.
  7. Wielomiany Bernsteina. Twierdzenia Weierstrassa i Stone’a-Weierstrassa.
  8. Twierdzenie o jednoznaczności najlepszej aproksymacji
  9. Nierówności Bernsteina i Markowa.
  10. Funkcje gięte (splines). Podstawowe własności.
  11. Szeregi Fouriera, podstawowe własności
  12. Wielomiany ortogonalne
  13. Aproksymacja w przestrzeni Lp (CD)
  14. Interpolacja i najlepsza aproksymacja w przestrzeni Lp.
Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach
Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

#Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z ćwiczeń i z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.

  1. Ocenę końcową wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 0,1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń, a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  2. Ocena końcowa OK jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW > 4.75, to OK:=5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW > 4.25, to OK:=4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW > 3.75, to OK:=4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW > 3.25, to OK:=3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW > 3.00, to OK:=3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. N.J.Achiezer, Teoria aproksymacji, Warszawa 1957.
  2. E.W.Cheney, Introduction to approximation theory, AMS Chelsea Publishing, 1998.
  3. C.De Boor, A guide to spline theory, Springer-Verlag 1978.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Wronicz, Zygmunt; On some application of biorthogonal spline systems to integral equations; Opusc. Math. 25, No. 1, 149-160 (2005).

2. Wronicz, Zygmunt, On approximation by Chebyshevian box splines; Ann. Pol. Math. 78, No.2, 111-121 (2002).

3. Szlachtowska, Ewa; Mielczarek, Dominik; Generalized duality mapping; J. Indian Math. Soc., New Ser. 82, No. 1-2, 169-183 (2015).

4. Góra, Michał; Mielczarek, Dominik; Comments on ”necessary and sufficient stability condition of fractional-order interval linear systems” [Automatica 44 (2008), 2985-2988];
Automatica 50, No. 10, 2734-2735 (2014).

5. Rydlewski, Jerzy P.; Mielczarek, Dominik; On the maximum likelihood estimator in the generalized beta regression model; Opusc. Math. 32, No. 4, 761-774 (2012).

6. Szlachtowska, Ewa; Mielczarek, Dominik; On the uniqueness of minimal projections in Banach spaces.
Opusc. Math. 32, No. 3, 579-590 (2012).

7. Mielczarek, Dominik; Minimal and co-minimal projections in spaces of continuous functions;
Opusc. Math. 30, No. 4, 457-464 (2010).

Informacje dodatkowe:

Studenci II stopnia mogą obrać ten przedmiot tylko w formie wykładu i wówczas obowiązkowy jest egzamin. Ponadto w takim przypadku student otrzymuje 4 ECTS.