Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Rachunek Wariacyjny
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-122-MN-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
1
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Kużel Sergiusz (kuzhel@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Zagadnienia ekstremalne analizy elementarnej oraz podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej związane z rachunkiem wariacyjnym. Istnienia ekstremum dla funkcjonałów. Metody rachunku wariacyjnego.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Opanowanie podstawowych metod rachunku wariaczjnego Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna metody wariacyjne stosowane do znajdowania rozwiązań zagadnień matematycznych Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W003 Rozumie matematyczne podstawy zastosowania metod wariacyjnych w konkretnych zagadnieniach Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Potrafi stosować metody wariacyjne w rozwiązywaniu zagadnień matematycznych MAT2A_U10 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Potafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania MAT2A_K02 Aktywność na zajęciach,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Opanowanie podstawowych metod rachunku wariaczjnego + - - - - - - - - - -
M_W002 Zna metody wariacyjne stosowane do znajdowania rozwiązań zagadnień matematycznych + - - - - - - - - - -
M_W003 Rozumie matematyczne podstawy zastosowania metod wariacyjnych w konkretnych zagadnieniach + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Potrafi stosować metody wariacyjne w rozwiązywaniu zagadnień matematycznych + - - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Potafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania + - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 100 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 63 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Wiadomości wstępne. Przegląd zagadnień ekstremalnych analizy elementarnej oraz podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej związane z rachunkiem wariacyjnym.
2. Najprostsze zagadnienie rachunku wariacyjnego. Różniczka funkcjonału. Warunki koniecznie istnienia ekstremum. Równanie Eulera. Przypadek wielu zmiennych. Pochodna wariacyjna. Niezmienniczość równań Eulera.
3. Uogólnienia najprostszego zagadnienia rachunku wariacyjnego na przypadek przestrzeni Banacha i Hilberta.
4. Zagadnienia parametryczne. Zagadnienia wariacyjne w postaci parametrycznej. Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów. Ekstremum warunkowe.
5. Wzór podstawowy dla wariacji funkcjonału. Ogólny wzór dla wariacji funkcjonału. Zadanie z końcami ruchomymi. Przypadek ekstremal niegładkich. Warunki Weierstrassa-Erdmanna.
6. Warunki dostateczne istnienia ekstremum. Funkcjonały kwadratowe. Druga wariacja funkcjonału. Wzór dla drugiej wariacji. Warunki Legendre’a. Warunki dostateczne istnienia ekstremum słabego.
7. Wprowadzenie w teorię ekstremum silnego. Równanie Hamiltona-Jacobiego. Twierdzenie Jacobiego.
8. Wybrane zastosowania. Zasada Hamiltona i ciągłe układy mechaniczne. Równania drgań poprzecznych struny, membrany, pręta i płyty.
9. Podstawy wariacyjnej teorii potencjału. Zasady Dirichleta i Thomsona.
10. Metody wariacyjne w fizyce współczesnej: wariacyjne wyprowadzenie równań Schrödingera.
11. Informacja o bezpośrednich metodach rachunku wariacyjnego. Metoda energetyczna. Funkcjonał metody energetycznej.
12. Metoda Ritza i metoda łamanych. Metody wariacyjne w zagadnieniu Sturma-Liouville’a. Zagadnienie wartości własnych. Metoda Rayleigha-Ritza.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie oceny z egzaminu OE, OK = OE.
3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
Jeżeli OE ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
jeżeli 4.75 > OE ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
jeżeli 4.25 > OE ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
jeżeli 3.75 > OE ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
jeżeli 3.25 > OE ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst)

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. I. M. Gelfand, S. W. Fomin, Rachunek wariacyjny, Warszawa, PWN, 1972.
  2. L. Komzsiuk, Applied Calculus of Variations for Engineers, CRC Press, New-York, 2009
  3. Bruce van Brunt, The Calculus of Variations, Universitext, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heideberg, Tokio, 2004.
  4. J. Jost, X. Li-Jost, Calculus of Variations, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press 1999.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) Hassi, Seppo; Kuzhel, Sergii; On J-self-adjoint operators with stable C-symmetries;
Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 143, No. 1, 141-167 (2013).

2) Bender, Carl M.; Kuzhel, Sergii;
Unbounded 𝒞-symmetries and their nonuniqueness;
J. Phys. A, Math. Theor. 45, No. 44, 6) Scattering theory for 0-perturbed ρτ-symmetric operators ;A. I. Hrod, S. O. KUZHEL; Ukrainian Mathematical Journal – vol. 65 no. 8, s. 1180–1202 (2014).

3) Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials; A. Grod, S. KUZHEL ; Methods of Functional Analysis and Topology – vol. 20 no. 1, s. 34–49 (2014). ID 444005, 14 p. (2012).

4) Albeverio, Sergio; Kuzhel Sergii; PT-symmetric operators in quantum mechanics: Krein spaces methods// W: Non-selfadjoint operators in quantum physics : mathematical aspects / eds. Fabio Bagarello, [et al.]. — Hoboken : John Wiley & Sons, Inc., cop. 2015. — ISBN: 978-1-118-85528-7. — S. 293–343.

Informacje dodatkowe:

Brak