Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Stochastyczne Układy Dynamiczne
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-302-MN-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
3
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Guzik Grzegorz (guzik@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Różne podejścia do dynamiki i modele, które opisują. Atraktory układów dynamicznych. Związek układów dynamicznych i operatorów Markova-Fellera.
Miar niezmiennicze i przyciągające.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna różne podejścia do dynamiki i modele, które one opisują. Rozumie rolę atraktorów układów dynamicznych. Wie jaki jest związek różnych rodzajów układów dynamicznych i operatorów Markova-Fellera, rozumie rolę miar niezmienniczych i przyciągających. MAT2A_W05, MAT2A_W07, MAT2A_W06, MAT2A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_W002 Wie o dwojakim- deterministycznym i stochastycznym podejściu do dynamiki, rozumie konieczność ich łączenia. MAT2A_W07, MAT2A_W06 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
Umiejętności: potrafi
M_U001 Umie konstruować fraktale dla hiperbolicznych IFS-ów. Potrafi korzystać z aparatu granic topologicznych MAT2A_U08, MAT2A_U04, MAT2A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_U002 Potrafi korzystać z połączenia teorii miary,prawdopodobieństwa i układów dynamicznychdla konkretnych modeli. MAT2A_U12, MAT2A_U11, MAT2A_U18, MAT2A_U16, MAT2A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna różne podejścia do dynamiki i modele, które one opisują. Rozumie rolę atraktorów układów dynamicznych. Wie jaki jest związek różnych rodzajów układów dynamicznych i operatorów Markova-Fellera, rozumie rolę miar niezmienniczych i przyciągających. + + - - - - - - - - -
M_W002 Wie o dwojakim- deterministycznym i stochastycznym podejściu do dynamiki, rozumie konieczność ich łączenia. + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Umie konstruować fraktale dla hiperbolicznych IFS-ów. Potrafi korzystać z aparatu granic topologicznych + + - - - - - - - - -
M_U002 Potrafi korzystać z połączenia teorii miary,prawdopodobieństwa i układów dynamicznychdla konkretnych modeli. + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 51 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 32 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Klasyczna teoria iterowanych układów funkcyjnych (IFS) w ujęciu Hutchinsona-Barnsleya. IFS-y hiperboliczne,
atraktory jako punkty stałe operatora Hutchinsona-Barnsleya i zbiory graniczne. Konstrukcje klasycznych fraktali.

2. Kocykle- układ dynamiczny z zaburzeniami (z szumem), nieautonomiczne i losowe układy dynamiczne; produkt
skośny. Kocykle dyskretne- rodziny generujące. Przykłady dyskretnych kocykli- dyskretne nieautonomiczne układy
dynamiczne, równania różnicowe z opóźnieniem, dysktretne półgrupy funkcji trójkątnych; IFS-y jako kocykle.

3. Atraktory kocykli. Granice topologiczne (Kuratowskiego) ciągów zbiorów, multifunkcje stanów generowane przez
kocykle. Dyskretne kocykle jednostajnie zwężające.

4. Asymptotyczna semistabilność ciągów multifunkcji- semiatraktory. IFS-y regularne, semifaraktale.

5. Miary borelowskie na przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie unormowane miar, słaba zbieżność ciągów miar.

6. Funkcje przejścia i operatory Markova. Operatory przejścia Markova-Fellera, operator dualny. Operatory przejścia dla
IFS-ów z prawdopodobieństwem, zaburzonych układów dynamicznych, rodzin funkcji o identycznych, niezależnych
rozkładach.

7. Mary niezmiennicze i przyciągające dla operatorów Markova-Fellera. Warunki wystarczające istnienia miar
niezmienniczych. Procesy z e-własnością, układ dynamiczny ze skokami.

8. Nośniki miar, multifunkcje Markova. Związek asymptotycznej stabilności operatora przejścia i semistabilności nośnika
funkcji przejścia.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):

Na ćwiczeniach studenci będą referować zagadnienia blisko związane z tematyką wykładu wg zaproponowanej aktualnej
literatury.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa jest oceną z egzaminu (6 ECTS)

Egzamin jest obowiązkowy dla specjalności MNTP.
Przedmiot może kończyć się zaliczeniem (4 ECTS) dla studentów innych specjalności.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

J. Myjak, T. Szarek, Attractors of iterated function systems and Markov operators, 2001

A. Lasota, M.C. Mackey, Chaos, fractals and noise, Springer 1994

R. Zaharopol, Invariant probabilities of Markov-Feller operators and their supports, Birkhauser 2005

Y. Kifer, Ergodic theory of random transformations, Birkhauser 1986

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Guzik, Grzegorz; On construction of asymptotically stable iterated function system with probabilities.
Stochastic Anal. Appl. 34, No. 1, 24-37 (2016).

2. Guzik, Grzegorz; Semiattractors of set-valued semiflows. J. Math. Anal. Appl. 435, No. 2, 1321-1334 (2016).

3. Guzik, Grzegorz; Asymptotic properties of multifunctions, families of measures and Markov operators associated with cocycles. Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser. A, Theory Methods 130, 59-75 (2016).

4. Chudziak, J.; Guzik, G.; Approximate helices of continuous iteration semigroups.
J. Math. Anal. Appl. 434, No. 2, 1290-1301 (2016).

5. Guzik, Grzegorz; Cocycles and continuous iteration semigroups of triangular functions.; J. Difference Equ. Appl. 21, No. 12, 1171-1185 (2015).

6. Guzik, Grzegorz; Asymptotic stability of discrete cocycles.
J. Difference Equ. Appl. 21, No. 11, 1044-1057 (2015).

7. Guzik, Grzegorz; On a functional equation connected with an embedding problem; Grazer Math. Ber. 346, 197-209 (2004).

8. Guzik, Grzegorz; Continuity of measurable solutions of some functional equations;Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 13, No. 7, 1895-1901 (2003).

9. Guzik, Grzegorz; Jarczyk, Witold; Matkowski, Janusz; Cocycles of continuous iteration semigroups; Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 51, No. 2, 195-197 (2003).

10. Guzik, Grzegorz; On embeddability of a linear functional equation in the class of differentiable functions;
Grazer Math. Ber. 344, 31-42 (2001).

Informacje dodatkowe:

Brak