Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Dynamika Topologiczna i Chaos
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-305-MN-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
3
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Obieralny
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
prof. dr hab. Oprocha Piotr (oprocha@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Pojęcia i twierdzenia dotyczące topologicznej teorii układów dynamicznych: zbiór graniczny, minimalność, tranzytywność, proksymalność, dystalność, rónociągłość.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia dotyczące topologicznej teorii układów dynamicznych (zbiór graniczny, minimalność, tranzytywność, proksymalność, dystalność, rónociągłość) MAT2A_W02, MAT2A_W04, MAT2A_U13, MAT2A_U02, MAT2A_W05 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
M_W002 zna podstawowe definicje chaosu dla dyskretnych układów dynamicznych MAT2A_W06, MAT2A_U15, MAT2A_W07, MAT2A_U08 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
M_W003 zna podstawowe twierdzenia i własności i przykłady niskowymiarowych układów dynamicznych MAT2A_U01, MAT2A_W06, MAT2A_U13, MAT2A_U08, MAT2A_W05 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
Umiejętności: potrafi
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń MAT2A_W02, MAT2A_W04, MAT2A_U13, MAT2A_U02, MAT2A_U03, MAT2A_W05 Egzamin
M_U002 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii układów dynamicznych MAT2A_K01, MAT2A_W02, MAT2A_K02 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium
M_U003 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, algebra, topologia) w teorii układów dynamicznych MAT2A_U14, MAT2A_U04, MAT2A_W07, MAT2A_U08 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania MAT2A_K01, MAT2A_K07, MAT2A_K02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia dotyczące topologicznej teorii układów dynamicznych (zbiór graniczny, minimalność, tranzytywność, proksymalność, dystalność, rónociągłość) + + - - - - - - - - -
M_W002 zna podstawowe definicje chaosu dla dyskretnych układów dynamicznych + + - - - - - - - - -
M_W003 zna podstawowe twierdzenia i własności i przykłady niskowymiarowych układów dynamicznych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń + - - - - - - - - - -
M_U002 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii układów dynamicznych - + - - - - - - - - -
M_U003 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, algebra, topologia) w teorii układów dynamicznych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania + - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 31 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 52 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

WYKŁADY

1. Podstawowe definicje: punkt okresowy, rekurencyjny, niewędrujący, łańcuchowo rekurencyjny; zbiór graniczny, układ minimalny.

2. Powracanie w układach dynamicznych i równociagłość.

3. Tranzytywność i mieszanie topologiczne.

4. Podstawowe klasy układów dynamicznych (pełne przesunięcie, odwzorowanie namiotowe, obroty na okręgu, automorfizmy torusa, maszyna dodająca).

5. Proksymalność i dystalność.

6. Śledzenie pseudo-orbit i zbiór punktów łańcuchowo-rekurencyjnych

7. Twierdzenie o rozkładzie spektralnym Bowena.

8. Twierdzenie o rozkładzie spektralnym Smale’a

9. Entropia topologiczna – równoważne definicje.

10. Podkowy topologiczne a entropia.

11. Odwzorowania odcinka: tranzytywnosc, mieszanie, gęste punkty okresowe.

12. Twierdzenie Szarkowskiego.

13. Globalne definicje chaosu: chaos w sensie Devaney’a

14. Lokalne definicje chaosu: chaos w sensie Li i Yorka.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):

ĆWICZENIA AUDYTORYJNE

Rozwiązywanie problemów (głównie teoretycznych) dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa (OK) jest średnią ważoną ocen z egzaminu (E) i zaliczenia ćwiczeń audytoryjnych (A): OK = 2/3 x E + 1/3 x A.

Przedmiot może być zaliczony także w wersji “bez egzaminu” (4 ECTS). Ocena końcowa na podstawie zaliczenia ćwiczeń.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Podstawowe wiadomości z zakresu analizy matematycznej.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1.L. Alseda, J. Llibre, M. Misiurewicz, Combinatorial dynamics and entropy in dimension one, World Scientific, River Edge, NJ, 2000.

2.N. Aoki, K. Hiraide, Topological theory of dynamical systems. Recent advances, North-Holland, Amsterdam, 1994.

3.L. Block, W. Coppel, Dynamics in one dimension, Springer-Verlag, Berlin,1992.

4.P. Kurka, Topological and symbolic dynamics, Soci´et´e Math´ematique de France, Paris, 2003.

5.P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer-Verlag, Berlin, 1982.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Shadowing, asymptotic shadowing and s-limit shadowing / Chris Good, Piotr OPROCHA, Mate Puljiz // Fundamenta Mathematicae ; ISSN 0016-2736. — 2019 vol. 244 iss. 3, s. 287-312

2. A mixing completely scrambled system exists / Jan P. BOROŃSKI, Jiří Kupka, Piotr OPROCHA // Ergodic Theory and Dynamical Systems ; ISSN 0143-3857. — 2018 vol. 39 iss. 1, s. 62–73.

3. Ultrafilters and Ramsey-type shadowing phenomena in topological dynamics / Will Brian, Piotr OPROCHA // Israel Journal of Mathematics ; ISSN 0021-2172. — 2018 vol. 227 iss. 1, s. 423–453.

4. Shadowing, entropy and minimal sets / Piotr OPROCHA // W: Dynamical systems in theoretical perspective : Łódź, Poland, December 11–14, 2017 / ed. Jan Awrejcewicz. — Cham : Springer International Publishing AG, cop. 2018. — (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics ; ISSN 2194-1009 ; vol. 248). — ISBN: 978-3-319-96597-0 ; e-ISBN: 978-3-319-96598-7. — S. 249–259.

5. Bruin, Henk; Oprocha, Piotr; On ’observable’ Li-Yorke tuples for interval maps; Nonlinearity 28, No. 6, 1675-1694 (2015).

6. Boroński, Jan P.; Oprocha, Piotr; On indecomposability in chaotic attractors. Proc. Am. Math. Soc. 143, No. 8, 3659-3670 (2015).

7. Boroński, Jan P.; Oprocha, Piotr; Rotational chaos and strange attractors on the 2-torus; Math. Z. 279, No. 3-4, 689-702 (2015).

8. Foryś, Magdalena; Oprocha, Piotr; Wilczyński, Paweł; Factor maps and invariant distributional chaos; J. Differ. Equations 256, No. 2, 475-502 (2014).

9. Oprocha, Piotr; Ahmadi Dastjerdi, Dawoud; Hosseini, Maryam; On partial shadowing of complete pseudo-orbits; J. Math. Anal. Appl. 411, No. 1, 454-463 (2014).

10. Drwiega, T.; Oprocha, P.; Topologically mixing maps and the pseudoarc; Ukr. Math. J. 66, No. 2, 197-208 (2014) and Ukr. Mat. Zh. 66, No. 2, 176-186 (2014).

11. Kościelniak, Piotr; Mazur, Marcin; Oprocha, Piotr; Pilarczyk, Paweł; Shadowing is generic – a continuous map case; Discrete Contin. Dyn. Syst. 34, No. 9, 3591-3609 (2014).

12. Oprocha, Piotr; Zhang, Guohua; On local aspects of topological weak mixing, sequence entropy and chaos; Ergodic Theory Dyn. Syst. 34, No. 5, 1615-1639 (2014).

12. Harańczyk, Grzegorz; Kwietniak, Dominik; Oprocha, Piotr; Topological structure and entropy of mixing graph maps; Ergodic Theory Dyn. Syst. 34, No. 5, 1587-1614 (2014).

13. Oprocha, Piotr; Transitivity, two-sided limit shadowing property and dense ω-chaos; J. Korean Math. Soc. 51, No. 4, 837-851 (2014).

14. Oprocha, Piotr; Zhang, Guohua; Topological aspects of dynamics of pairs, tuples and sets;
Hart, K. P. (ed.) et al., Recent progress in general topology III. Based on the presentations at the Prague symposium, Prague, Czech Republic, 2001. Amsterdam: Atlantis Press 665-709 (2014).

Informacje dodatkowe:

Brak