Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Geometria Różniczkowa
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-307-MN-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
3
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
prof. dr hab. Rybicki Tomasz (tomasz@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Pojęcia i twierdzenia wraz z wybranymi dowodami z dziedziny geometrii różniczkowej. Całkowanie form różniczkowych. Inne zagadnienia.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna podstawowe pojęcia z zakresu algebry wieloliniowej (np. tensor, k-forma), posiada pogłębioną wiedzę z zakresu algebry MAT2A_U08, MAT2A_U10, MAT2A_W01, MAT2A_W02, MAT2A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia wraz z wybranymi dowodami z dziedziny geometrii różniczkowej MAT2A_U08, MAT2A_U04, MAT2A_W01, MAT2A_U16, MAT2A_W03 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Posiada podstawową wiedzę na temat historii geometrii, związków geometrii z innymi działami matematyki oraz z naukami przyrodniczymi i technicznymi MAT2A_W07, MAT2A_W01, MAT2A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Posługuje się pojęciami teorii grup i innych struktur algebraicznych MAT2A_U08, MAT2A_U10, MAT2A_U04, MAT2A_U01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 Potrafi posługiwać się pojęciem rozmaitości gładkiej i zna podstawy rachunku tensorowego MAT2A_U08, MAT2A_U10, MAT2A_U04, MAT2A_U01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna podstawowe pojęcia z zakresu algebry wieloliniowej (np. tensor, k-forma), posiada pogłębioną wiedzę z zakresu algebry + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia wraz z wybranymi dowodami z dziedziny geometrii różniczkowej + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Posiada podstawową wiedzę na temat historii geometrii, związków geometrii z innymi działami matematyki oraz z naukami przyrodniczymi i technicznymi + + - - - - - - - - -
M_U002 Posługuje się pojęciami teorii grup i innych struktur algebraicznych + + - - - - - - - - -
M_U003 Potrafi posługiwać się pojęciem rozmaitości gładkiej i zna podstawy rachunku tensorowego + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 32 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 51 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):
  1. Wstęp

    Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących grup i innych struktur algebraicznych. Działanie grupy na zbiór.

  2. Grupy topologiczne

    Pojęcie grupy topologicznej wraz z podstawowymi własnościami. Grupy i algebry macierzy (ortogonalne, hermitowskie, symplektyczne, specjalne). Definicja i własności odwzorowania wykładniczego.

  3. Geometria jako teoria niezmienników grup przekształceń

    Rola odwzorowania wykładniczego.

  4. Elementy algebry wieloliniowej

    Iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna.

  5. Rozmaitości różniczkowe

    Pojęcie rozmaitości różniczkowej, atlasu, mapy i struktury różniczkowej. Przestrzeń styczna (dwie definicje).

  6. Podrozmaitości

    Odwzorowanie styczne (różniczka). Podrozmaitości. Wiązki styczne i kostyczne oraz wiązki wektorowe. Pola wektorowe.

  7. Różniczka zewnętrzna

    Pola wektorowe (kontynuacja), przepływy, krzywe całkowe. Algebra Liego pól wektorowych. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, iloczyny zewnętrzny i wewnętrzny, pochodna Liego.

  8. Twierdzenie Stokesa

    Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Całkowanie form różniczkowych, twierdzenie Stokesa.

  9. Pola potencjalne

    Całkowanie form różniczkowych (kontynuacja). Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i wystarczające dla potencjalności pola.

  10. Symbole Christoffla

    Koneksja afiniczna, przeniesienie równoległe, pochodna kowariantna. Symbole Christoffla.

  11. Geodezyjne

    Krzywizna, skręcenie, równania strukturalne. Geodezyjne i ich własności.

  12. Rozmaitości riemannowskie

    Tensor metryczny, rozmaitość riemannowska. Koneksja riemannowska, jej charakteryzacja i własności.

  13. Lemat Schura

    Zupełność i twierdzenie Hopfa – Rinova. Krzywizna sekcyjna. Lemat Schura.

  14. Grupy Liego

    Grupy Liego i ich algebry Liego. Odwzorowanie wykładnicze. Homomorfizmy grup i algebr Liego.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Rozwiązywanie zadań ilustrujących treści przekazywane na wykładach
Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/2 OC + 1/2 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
  4. Niewielkie odstępstwa są możliwe w zależności od kompetencji egzaminowanego wykazanej w czasie egzaminu
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, BM, PWN 1985.
  2. S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press 1962.
  3. W. Wojtyński, Grupy i Algebry Liego, BM, PWN 1986.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Haller, Stefan; Rybicki, Tomasz; Teichmann, Josef; Smooth perfectness for the group of diffeomorphism; J. Geom. Mech. 5, No. 3, 281-294 (2013).

2. Rubin, Matatyahu; Rybicki, Tomasz; Isomorphisms between groups of equivariant homeomorphisms of G-manifolds with one orbit type; Topology Appl. 159, No. 12, 2899-2908 (2012).

3. Rybicki, Tomasz; Correspondence between diffeomorphism groups and singular foliations; Ann. Pol. Math. 103, No. 1, 27-35 (2012).

4. Kowalik, Agnieszka; Rybicki, Tomasz; On the homeomorphism groups of manifolds and their universal coverings; Cent. Eur. J. Math. 9, No. 6, 1217-1231 (2011).

5. Rybicki, Tomasz; Locally continuously perfect groups of homeomorphisms; Ann. Global Anal. Geom. 40, No. 2, 191-202 (2011).

6. Michalik, Ilona; Rybicki, Tomasz; On the structure of the commutator subgroup of certain homeomorphism groups; Topology Appl. 158, No. 11, 1314-1324 (2011).

7. Rybicki, Tomasz; Boundedness of certain automorphism groups of an open manifold;
Geom. Dedicata 151, 175-186 (2011).

Informacje dodatkowe:

Brak