Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Group Analysis of Differential Equations
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-309-MN-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
3
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Vladimirov Vsevolod (vladimir@mat.agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć
Theory of Lie groups of transformations. Jet space. Symmetry.
Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Student knows the foundations of theory of Lie groups of transformations. Student understands links between the local Lie groups and their generators. Student knows the foundations of the theory of invariants and is familiar with the concept of prolongation of the Lie group of transformation onto the jet space. Student knows the criterium of invariance of the system of differential equations and is familiar with its practical implementation. Student is able to apply the Lie algorithm for studying the symmetry of both ordinary and partial differential equations (ODEs and PDEs to abbreviate) and knows how (and when) it is possible to implement the symmetry of nonlinear differential equations. MAT2A_W01, MAT2A_W02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
M_W002 Student is able to write down a system of defining equations. Student can implement the procedure of splitting the system of defining equations. Student knows the procedure enabling to find out the invariants of the symmetry group and is able to construct an ansatz leading to the group theory reduction in the case of PDEs. MAT2A_W07, MAT2A_W03 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
Umiejętności: potrafi
M_U001 Student can implement the criterium of invariance of the differential equations (DE). Student knows how to find out the elementary symmetries of a given DE (such as scalings and shifts) without implementing the Sophus Lie machinery. MAT2A_U02, MAT2A_U01, MAT2A_U05 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
M_U002 Student can use the symmetry of a nonlinear PDE infinding out particular solutions and constructing newsolutions from the already known ones. Student isable to formulate the problem of the group-theoryclassification of a family of DE containing theparameters and unknown elements. Studentpossesses the practical skill of solving the ODEs ofthe first and the second order, using theirsymmetries. MAT2A_U22, MAT2A_U06, MAT2A_U10 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Student can notice symmetry of surrounding worldand understands the role of symmetry in modelingthe nonlinear phenomena. MAT2A_K01, MAT2A_U22, MAT2A_K05 Aktywność na zajęciach
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Student knows the foundations of theory of Lie groups of transformations. Student understands links between the local Lie groups and their generators. Student knows the foundations of the theory of invariants and is familiar with the concept of prolongation of the Lie group of transformation onto the jet space. Student knows the criterium of invariance of the system of differential equations and is familiar with its practical implementation. Student is able to apply the Lie algorithm for studying the symmetry of both ordinary and partial differential equations (ODEs and PDEs to abbreviate) and knows how (and when) it is possible to implement the symmetry of nonlinear differential equations. + + - - - - - - - - -
M_W002 Student is able to write down a system of defining equations. Student can implement the procedure of splitting the system of defining equations. Student knows the procedure enabling to find out the invariants of the symmetry group and is able to construct an ansatz leading to the group theory reduction in the case of PDEs. + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student can implement the criterium of invariance of the differential equations (DE). Student knows how to find out the elementary symmetries of a given DE (such as scalings and shifts) without implementing the Sophus Lie machinery. + + - - - - - - - - -
M_U002 Student can use the symmetry of a nonlinear PDE infinding out particular solutions and constructing newsolutions from the already known ones. Student isable to formulate the problem of the group-theoryclassification of a family of DE containing theparameters and unknown elements. Studentpossesses the practical skill of solving the ODEs ofthe first and the second order, using theirsymmetries. + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Student can notice symmetry of surrounding worldand understands the role of symmetry in modelingthe nonlinear phenomena. + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 155 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 28 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 60 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Local Lie group. One-parametric local Lie group of transformations.
Canonical parameter.

2. Generator of a Lie group of transformation (IFG) and its geometric interpretation. The first
fundamental Lie theorem.

3. Exponential map. Lie group induced by a diffeomorphism. Transformation of coordinates of IFG
induced by the change of variables. Canonical coordinates.

4. Invariance of a function. Algebraic manifold and its invariance. One-parematric Lie group defined
on a set of dependent and independent variables.

5. Jet space. Theory of prolongation. Criterium of invariance of a differential equation. Defining
equations.

6. Symmetry of the linear heat transport equation.

7. Symmetry of the potential Burgers equation. Symmetry-based reconstruction of the Cole-Hopf
transformation.

8. Multi-parameter Lie group and its Lie algebra. The problem of group theory classification.

9. Symmetries and invariant solutions. Particular solutions of some nonlinear equations of
mathematical physics.

10. Dissemination of solutions. Inverse problem of the group analysis.

11. Symmetry and integrability of the first-order ODE.

12. Symmetry of the second-order ODE: lowering of the order. A class of the second-order ODEs,
admitting two symmetry generators. The strategies of integration.

13. Canonical IFO of a one-parameter Lie group of transformations. Generalized symmetries.

14. Algorithm for searching the generalized symmetries of DE. Examples.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Group analysis of differential equations (classes)

Tresci ćwiczeń audyrotyjnych pokrywają sie z tresciami prowadzonego wykładu. Pod czas zajęc praktycznych studenci rozwiązuja zadania praktyczne dotyczące analizy grupowej równań różniczkowych

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa jest średnią oceny z egzaminu i zaliczenia ćwiczeń audytoryjnych

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. P. Olver, Application of lie Groups to Differential Equations, Springer, NY, 1993.

2. G. Bluman , S. Kumei, Symmetries and Differential Equations,
Springer, NY, 1989.

3. H. Stephani, Differential Equations: Their Solutions Using
Symmetries, Cambridge Univ. Press, NY, 1989.

4. G. Baumann, Symmetry Analysis of Differential Equations with
Mathematica, Springer, NY, 2000.

5. N. Ibragimov, Transformation Groups Applied to Mathematical
physics, Reidel, Boston, 1985.

6. N. Ibragimov (Ed.), CRC Handbook on Group Analysis. Vol.
I-III, Boca Rata, 1994.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Likus, W.; Vladimirov, V.A.
Solitary waves in the model of active media, taking into account effects of relaxation; Rep. Math. Phys. 75, No. 2, 213-230 (2015).

2. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, V.S.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Exact solutions and wave patterns within some non-local hydrodynamic-type models;
Algebras Groups Geom. 31, No. 4, 407-477 (2014).

3. Vladimirov, V.A.; Morgulis, A.B.
Relative equilibria in the Bjerknes problem. (English. Russian original);
Sib. Math. J. 55, No. 1, 35-48 (2014); translation from Sib. Mat. Zh. 55, No. 1, 44-60 (2014).

4. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, S.S.jun.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Group analysis of reaction-diffusion-convection of nonlinear equations;
Algebras Groups Geom. 30, No. 3, 275-365 (2013).

5. Vladimirov, V.A.
Dumbbell micro-robot driven by flow oscillations; J. Fluid Mech. 717, R8, 11 p., electronic only (2013).

6. Vladimirov, V.A.
On the self-propulsion of an N-sphere micro-robot; J. Fluid Mech. 716, R1, 11 p., electronic only (2013).

7. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, N.M.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Algebra-invariant models for nonlinear nonlocal media;
Algebras Groups Geom. 29, No. 3, 309-376 (2012).

8. Vladimirov, V.A.; Ma̧czka, Cz.;
On the stability of kink-like and soliton-like solutions of the generalized convection-reaction-diffusion equation; Rep. Math. Phys. 70, No. 3, 313-329 (2012).

9. Vladimirov, V.A.; Magnetohydrodynamic drift equations: from Langmuir circulations to magnetohydrodynamic dynamo? J. Fluid Mech. 698, 51-61 (2012).

10. Vladimirov, V.A.; Kutafina, E.V.; Zorychta, B.
On the non-local hydrodynamic-type system and its soliton-like solutions;
J. Phys. A, Math. Theor. 45, No. 8, Article ID 085210, 12 p. (2012).

11. Vladimirov, V.A.; Ma̧czka, Cz.
On the stability of some exact solutions to the generalized convection-reaction-diffusion equation; Chaos Solitons Fractals 44, No. 9, 677-684 (2011).

Informacje dodatkowe:

Brak