Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Wstęp do Logiki i Teorii Mnogości
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-101-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
1
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Czyżewska Katarzyna (kasia@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Pojęcia logiki matematycznej i teorii mnogości. Zbiory, relacje. Aksjomat wyboru, lemat Kuratowskiego-Zorna. Moce zbiorów, liczby kardynalne i porządkowe. Reguły wnioskowania.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna wybrane pojęcia i metody logiki matematycznej, teorii mnogości i matematyki dyskretnej zawarte w podstawach innych dyscyplin matematyki MAT1A_U06 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 posługuje się językiem teorii mnogości, potrafi dowodzić własności oraz konstruować obiekty takie jak produkt czy przestrzeń ilorazowa MAT1A_U07, MAT1A_U05 Egzamin,
Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 posługuje się rachunkiem zdań i kwantyfikatorów; potrafi poprawnie używać kwantyfikatory także w języku potocznym MAT1A_U01, MAT1A_U02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia; potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania MAT1A_K01, MAT1A_K02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna wybrane pojęcia i metody logiki matematycznej, teorii mnogości i matematyki dyskretnej zawarte w podstawach innych dyscyplin matematyki + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 posługuje się językiem teorii mnogości, potrafi dowodzić własności oraz konstruować obiekty takie jak produkt czy przestrzeń ilorazowa + + - - - - - - - - -
M_U002 posługuje się rachunkiem zdań i kwantyfikatorów; potrafi poprawnie używać kwantyfikatory także w języku potocznym + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia; potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 175 godz
Punkty ECTS za moduł 7 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 44 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 64 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):
  1. Zdania logiczne

    Zdanie logiczne. Wartość logiczna. Negacja zdania. Zasada sprzeczności, zasada wyłączonego środka. Łączenie zdań. Alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność.
    Negacja zdania złożonego. Prawa de Morgana. Zaprzeczenie implikacji. Zaprzeczenie równoważności. Tautologia. Metody dowodzenia tautologii w klasycznym rachunku zdań. Reguły wnioskowania.

  2. Zbiory

    Zbiory. Suma mnogościowa, przecięcie (iloczyn mnogościowy); różnica (dopełnienie)zbiorów. Prawa de Morgana. Prawa rządzące działaniami na zbiorach. Rodziny indeksowane zbiorów. Uogólniona suma, przecięcie rodzin zbiorów. Zbiór potęgowy.
    Iloczyn kartezjański dwóch zborów. Pojęcie pary. Własności iloczynu kartezjanskiego.
    Relacja, jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego. Dziedzina i przeciwdziedzina. Złożenie relacji i relacja odwrotna.

  3. Funkcje jako relacje

    Funkcje jako relacje. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji. Odwzorowanie. Składanie funkcji. Składanie odwzorowań. Zestawienie i produkt odwzorowań. Odwzorowanie surjektywne. Odwzorowanie injektywne. Bijekcja. Twierdzenia o składaniu. Odwzorowanie odwrotne do danego. Odwzorowanie odwrotne do złożenia.
    Uogólniony iloczyn kartezjanski rodziny zbiorów. Obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcję. Twierdzenia o obrazach i przeciwobrazach.

  4. Relacje równoważnościowe

    Relacje równoważnościowe. Definicja. Klasy równoważności. Przestrzeń ilorazowa. Relacje definiowane przez rozkład
    przestrzeni. Zasada abstrakcji.
    Twierdzenia o relacji równoważności generowanej przez daną relację oraz o tranzytywnym domknięciu relacji. Twierdzenia o warunkach równoważnych na to, by suma (złożenie) relacji równoważności były relacjami równoważności. Jądro odwzorowania.
    Twierdzenie o rozkładzie kanonicznym funkcji.

  5. Relacje porzadkujące

    Relacje porządkujace częściowo i liniowo. Zbiór ograniczony. Elementy wyróżnione (elementy maksymalne, minimalne, element największy i najmniejszy, kres górny i kres dolny zbioru). Twierdzenia o elementach najwiekszych (najmniejszych) i maksymalnych (minimalnych). Własności kresów. Łańcuchy i antyłańcuchy. Twierdzenia o zbiorach izomorficznych (niezmienniki porządku).

  6. Aksjomat wyboru

    Przekrój zbioru. Luka i skok. Uporządkowanie gęste. Uporzadkowanie ciągłe. Przestrzenie dobrze uporządkowane. Wprowadzenie dobrego porządku na sumie i produkcie
    zbiorów. Równoważność dwóch wersji aksjomatu wyboru.

  7. Lemat Kuratowskiego-Zorna

    Przedział początkowy. Twierdzenie o zbiorze dobrze uporzadkowanym. Podobieństwo zbiorów dobrze uporządkowanych. Lemat Kuratowskiego-Zorna (bd).
    Równoważność twierdzeń: LKZ,twierdzenie Zermelo,aksjomat wyboru,twierdzenie Hausdorffa.

  8. Zbiory przeliczalne i continuum

    Równoliczność zbiorów. Twierdzenia o zbiorach równolicznych. Twierdzenie Cantora. Twierdzenie Cantora – Bernsteina. Zbiory przeliczalne. Twierdzenia o zbiorach przeliczalnych. Przeliczalność zbiorów: liczb całkowitych i wymiernych. Twierdzenie o zbiorze nieskończonym. Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych. Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych. Zbiory mocy continuum – przykłady. Twierdzenia o zbiorach mocy continuum.
    Hipoteza continuum.

  9. Liczby porządkowe i kardynalne

    Dwie wersje zasady indukcji porządkowej. Twierdzenie odwrotne. Zbiory tranzytywne.
    Liczba porządkowa. Własności liczb porządkowych. Paradoks Burali-Forti. Typ porządkowy zbioru.
    Pojęcie mocy zbioru oraz liczby kardynalnej.
    Działania na liczbach porządkowych i kardynalnych – informacyjnie.

  10. Formy zdaniowe

    Formy zdaniowe. Dziedzina formy zdaniowej, zbiór elementów spełniających formę.
    Kwantyfikatory. Negacja formy zdaniowej. Alternatywa i koniunkcja form zdaniowych.
    Wybrane prawa logiczne rządzące kwantyfikatorami. Uzupełnienie reguł wnioskowania.
    Dowód twierdzenia: dowód wprost, dowód nie wprost.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę wykładów.

Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów. Przewidziane są 2 kolokwia w ciągu semestru.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:
Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z ćwiczeń i z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową wystawia się na podstawie oceny średniej ważonej wyznaczonej według wzoru:
    SW = 0,66 OC + 0,34 OE
    , gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń, a OE jest uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW > 4.75, to OK:=5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW > 4.25, to OK:=4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW > 3.75, to OK:=4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW > 3.25, to OK:=3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW > 3.00, to OK:=3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie ma wymagań

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. . Chronowski A., Elementy teorii mnogości.
  2. . Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii.
  3. . Błaszczyk A., Turek S., Teoria mnogości
  4. . Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:
1) Change-point detection in a shape-restricted regression model / Konrad NOSEK, Zbigniew SZKUTNIK // Statistics ; ISSN 0233-1888. — 2014 vol. 48 no. 3, s. 641–656. — Bibliogr. s. 654–655 2) Change-point detection in two-phase regression with inequality contraints on the regression parameters / K. NOSEK // Communications in Statistics. Theory and Methods ; ISSN 0361-0926. — 2014 vol. 43 iss. 5 spec. iss., s. 932–946. — Bibliogr. s. 945–946 3) Algebra of operators affiliated with a finite type I von Neumann algebra / Piotr Niemiec, Adam WEGERT // Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica ; ISSN 0860-0120. — 2016 iss. 53, s. 39–57. — Bibliogr. s. 56–57, Abstr.. — tekst: https://goo.gl/XnCSSK
Informacje dodatkowe:

Brak