Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Algebra Liniowa z Geometrią I
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-103-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
1
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Adamus Lech (adamus@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Przestrzeń Euklidesowa. Przestrzenie wektorowe. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni wektorowej. Macierze i układy równań liniowych. Odwzorowania liniowe.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) algebry liniowej dla n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej MAT1A_U01, MAT1A_U04, MAT1A_W04, MAT1A_W07, MAT1A_W02 Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna,
Aktywność na zajęciach
M_W002 zna pojęcie, genezę, własności i zastosowania rozszerzenia zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb zespolonych MAT1A_W01, MAT1A_W02, MAT1A_U05 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 posługuje się pojęciem wektora, macierzy, podprzestrzeni wektorowej w R^n, przekształcenia liniowego MAT1A_U06, MAT1A_U01, MAT1A_U16, MAT1A_U02 Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna,
Aktywność na zajęciach
M_U002 umie obliczać wyznaczniki i stosować ich własności, potrafi podać geometryczną interpretację wyznacznika MAT1A_U18, MAT1A_W07, MAT1A_U03 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 rozwiązuje układy równań liniowych o stałych współczynnikach, rozumie geometryczną interpretację rozwiązania MAT1A_U06, MAT1A_U19 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_U004 swobodnie posługuje się liczbami zespolonymi, umie wykorzystywać różne postaci liczb zespolonych, obliczać ich pierwiastki oraz rozkładać wielomiany „do postaci iloczynowej” (zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej) MAT1A_U01, MAT1A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U005 umie posługiwać się pojęciami abstrakcyjnych struktur algebraicznych i potrafi adaptować ogólną wiedzę na temat struktur w celu wykorzystania w przypadku konkretnych (nowych) grup, pierścieni, przestrzeni wektorowych, etc. MAT1A_W05, MAT1A_U16, MAT1A_W04, MAT1A_U36 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem; potrafi wyartykułować, czego nie rozumie; stara się doskonalić swoje kwalifikacje matematyczne MAT1A_K01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
90 45 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) algebry liniowej dla n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej + + - - - - - - - - -
M_W002 zna pojęcie, genezę, własności i zastosowania rozszerzenia zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb zespolonych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 posługuje się pojęciem wektora, macierzy, podprzestrzeni wektorowej w R^n, przekształcenia liniowego + + - - - - - - - - -
M_U002 umie obliczać wyznaczniki i stosować ich własności, potrafi podać geometryczną interpretację wyznacznika + + - - - - - - - - -
M_U003 rozwiązuje układy równań liniowych o stałych współczynnikach, rozumie geometryczną interpretację rozwiązania + + - - - - - - - - -
M_U004 swobodnie posługuje się liczbami zespolonymi, umie wykorzystywać różne postaci liczb zespolonych, obliczać ich pierwiastki oraz rozkładać wielomiany „do postaci iloczynowej” (zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej) + + - - - - - - - - -
M_U005 umie posługiwać się pojęciami abstrakcyjnych struktur algebraicznych i potrafi adaptować ogólną wiedzę na temat struktur w celu wykorzystania w przypadku konkretnych (nowych) grup, pierścieni, przestrzeni wektorowych, etc. + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem; potrafi wyartykułować, czego nie rozumie; stara się doskonalić swoje kwalifikacje matematyczne + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 225 godz
Punkty ECTS za moduł 9 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 90 godz
Przygotowanie do zajęć 57 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 71 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (45h):

1. Wstęp z logiki (1 godz.)

Podstawowe funktory logiczne i kwantyfikatory, działania na zbiorach, iloczyn kartezjański zbiorów.

2. Liczby zespolone (7 godz.)

Wprowadzenie nieformalne – liczby zespolone jako rozszerzenie znanych zbiorów liczb oraz dziedzina, w której każdy wielomian ma pierwiastek. Definicja formalna i działania na liczbach zespolonych, postać algebraiczna liczby zespolonej, własności działań. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych, działań na liczbach zespolonych oraz modułu i sprzężenia liczby zespolonej. Postać trygonometryczna liczby zespolonej – działania na liczbach w postaci trygonometrycznej, wzór de Moivre’a. Postać wykładnicza liczby zespolonej. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Rozwiązywanie równań wielomianowych (tw. Bezouta, tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu, zasadnicze twierdzenie algebry, tw. o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego + wnioski), przykłady.

3. Wektory w R^n (4 godz.)

Działania na wektorach w R^n (dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar, własności działań). Kombinacja liniowa wektorów. Liniowa niezależność wektorów. Baza w R^n. Reper bazowy. Współrzędne wektora względem bazy i tw. o ich jednoznaczności. Podprzestrzenie wektorowe w R^n (definicja podprzestrzeni i warunki równoważne, przykłady). Wyznaczanie baz podprzestrzeni.

4. Struktury algebraiczne (3 godz.)

Działania (dwuargumentowe), własności działań, przykłady. Definicja grupy (przemiennej), pierścienia (przemiennego), pierścienia z jednością, pierścienia całkowitego oraz ciała, przykłady. Homomorfizmy struktur.

5. Przestrzenie wektorowe (8 godz.)

Definicja i przykłady. Własności działań w przestrzeni wektorowej. Podprzestrzeń wektorowa. Liniowa niezależność wektorów. Liniowa powłoka, baza i wymiar przestrzeni wektorowej (tw. Steinitza, tw. o istnieniu bazy, tw. o uzupełnieniu do bazy, tw. o równoliczności baz, własności wymiaru). Reper bazowy i współrzędne wektora w przestrzeni wektorowej.
Tw. o przecięciu podprzestrzeni. Sumy (proste) podprzestrzeni, dopełnienie podprzestrzeni, tw. o istnieniu dopełnienia dla dowolnej podprzestrzeni wektorowej, tw. o wymiarze sumy dwóch podprzestrzeni skończenie wymiarowych.

6. Macierze (9 godz.)

Definicja macierzy. Rodzaje macierzy. Działania, operacje na macierzach (dodawanie macierzy, mnożenie przez skalar, mnożenie i potęgowanie macierzy, transponowanie macierzy) i ich własności.
Wyznacznik macierzy – interpretacja w R^2 i R^3. Permutacje zbioru n-elementowego (pojęcie inwersji, znak permutacji, transpozycja, tw. o zmianie znaku permutacji, permutacje parzyste i nieparzyste). Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej. Wyznacznik macierzy transponowanej. Własności wyznacznika (wpływ operacji na kolumnach lub wierszach macierzy na wyznacznik). Tw. Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy. Minor macierzy. Dopełnienie algebraiczne elementu. Tw. Laplace’a. Tw. o wyznaczniku macierzy blokowej. Tw. o wyznaczniku macierzy trójkątnej.
Rząd wierszowy i kolumnowy macierzy. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy. Macierz schodkowa. Algorytm Gaussa na sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej. Tw. o równości rzędów wierszowego i kolumnowego. Definicja rzędu macierzy. Związek rzędu z minorami macierzy. Własności rzędu macierzy.
Macierz odwrotna. Tw. o postaci macierzy odwrotnej. Macierz nieosobliwa. Własności macierzy odwrotnych. Algorytm Gaussa znajdywania macierzy odwrotnej.

7. Układy równań liniowych (4 godz.)

Definicja układu i zapis macierzowy. Układy jednorodne i niejednorodne. Rozwiązanie układu. Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne. Układy Cramera. Tw. Cramera. Tw. Kroneckera-Capellego. Tw. o układach niesprzecznych. Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych. Tw. o rozwiązaniach układów jednorodnych i niejednorodnych. Dowód tw. Steinitza.

8. Odwzorowania liniowe (5 godz.)

Definicja odwzorowania liniowego (pomiędzy dwiema dowolnymi przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem) oraz charakteryzacje równoważne. Przykłady odwzorowań. Jądro i obraz odwzorowania liniowego. Jądro i obraz jako podprzestrzenie odp. dziedziny i przeciwdziedziny. Tw. o generatorach obrazu. Rząd odwzorowania. Tw. o wymiarach jądra i obrazu. Pojęcie mono-, epi-, izo-, endo-, automorfizmu. Warunki równoważne na epimorficzność, monomorficzność i izomorficzność odwzorowania.
Złożenia i kombinacje liniowe odwzorowań liniowych, odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu. Twierdzenie o warunku koniecznym i równoważnym na izomorficzność dwóch przestrzeni skończenie wymiarowych nad tym samym ciałem. Przykłady przestrzeni izomorficznych.

9. Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego (4 godz.)

Definicja macierzy i reprezentacji macierzowej odwzorowania liniowego, wzajemna jednoznaczność między odwzorowaniami liniowymi a (odp.) macierzami (przy ustalonych przestrzeniach i bazach). Twierdzenia o postaci macierzy złożenia i kombinacji liniowej odwzorowań liniowych oraz o macierzy odwzorowania odwrotnego do danego automorfizmu. Znajdywanie macierzy odwrotnej metodą odwzorowania odwrotnego. Interpretacja geometryczna wyznacznika macierzy endomorfizmu. Macierz przejścia i jej własności. Tw. o zmianie macierzy odwzorowania przy zmianie baz dziedziny i przeciwdziedziny.

Ćwiczenia audytoryjne (45h):
Rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę wykładów

Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów. Przewidziane są 3 kolokwia w ciągu semestru.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z ćwiczeń. Ocena końcowa pokrywa się z oceną z ćwiczeń.
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie ma.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. Z. Furdzik, J. Maj-Kluskowa, A. Kulczycka, M. Sękowska, Nowoczesna matematyka dla inżynierów. Część I: Algebra, Wydawnictwo AGH, Kraków, 1993
  2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002
  3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 2, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2005
  4. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa, 2011
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Adamus, Janusz; Adamus, Lech; Yeo, Anders, On the Meyniel condition for Hamiltonicity in bipartite digraphs, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 16, No. 1, 293-302, electronic only (2014).

2. Adamus, Janusz; Adamus, Lech, A degree condition for cycles of maximum length in bipartite digraphs, Discrete Math. 312, No. 6, 1117-1122 (2012).

3. Adamus, Lech; Orchel, Beata; Szymański, Artur; Wojda, A.Paweł; Zwonek, Małgorzata;
A note on t-complementing permutations for graphs, Inf. Process. Lett. 110, No. 2, 44-45 (2009).

4. Baudon, O.; Bensmail, J.; Przybyło, J.; Woźniak, M.; On decomposing regular graphs into locally irregular subgraphs, Eur. J. Comb. 49, Article ID 2413, 90-104 (2015).

5. Przybyło, Jakub; On the facial Thue choice index via entropy compression, J. Graph Theory 77, No. 3, 180-189 (2014).

6. Baudon, Olivier; Foucaud, Florent; Przybyło, Jakub; Woźniak, Mariusz;
On the structure of arbitrarily partitionable graphs with given connectivity. Discrete Appl. Math. 162, Part 1, 381-385 (2014).

7. Przybyło, Jakub, Colour-blind can distinguish colour pallets,
Electron. J. Comb. 21, No. 2, Research Paper P2.19, 6 p., electronic only (2014).

Informacje dodatkowe: