Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza Matematyczna II
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-201-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
2
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Prowadzący moduł:
dr hab. Rudol Krzysztof (rudol@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Zastosowania całki funkcji jednej zmiennej. Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych wielu zmiennych.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna podstawowe przykłady zarówno ilustrujące konkretne pojęcia matematyczne, jak i pozwalające obalić błędne hipotezy lub nieuprawnione rozumowania MAT1A_W07, MAT1A_U13, MAT1A_U12 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 zna podstawy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych, a także wykorzystywane w nim inne gałęzie matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem algebry liniowej i topologii MAT1A_U23, MAT1A_W05, MAT1A_U13 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 umie wykorzystać twierdzenia i metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych w zagadnieniach związanych z optymalizacją, poszukiwaniem ekstremów lokalnych i globalnych oraz badaniem przebiegu funkcji, podając precyzyjne i ścisłe uzasadnienia poprawności swoich rozumowań MAT1A_U12 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 posługuje się definicją całki funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych; potrafi wyjaśnić analityczny i geometryczny sens tego pojęcia MAT1A_U23, MAT1A_U12 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 rozpoznaje i określa najważniejsze własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowej i przestrzeni metrycznych MAT1A_U13 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Wie, że matematyki należy uczy się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzeb dalszego kształcenia. MAT1A_K01, MAT1A_K02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_K002 potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania MAT1A_W05 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
120 60 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna podstawowe przykłady zarówno ilustrujące konkretne pojęcia matematyczne, jak i pozwalające obalić błędne hipotezy lub nieuprawnione rozumowania + + - - - - - - - - -
M_W002 zna podstawy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych, a także wykorzystywane w nim inne gałęzie matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem algebry liniowej i topologii + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 umie wykorzystać twierdzenia i metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych w zagadnieniach związanych z optymalizacją, poszukiwaniem ekstremów lokalnych i globalnych oraz badaniem przebiegu funkcji, podając precyzyjne i ścisłe uzasadnienia poprawności swoich rozumowań + + - - - - - - - - -
M_U002 posługuje się definicją całki funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych; potrafi wyjaśnić analityczny i geometryczny sens tego pojęcia + + - - - - - - - - -
M_U003 rozpoznaje i określa najważniejsze własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowej i przestrzeni metrycznych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Wie, że matematyki należy uczy się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzeb dalszego kształcenia. + + - - - - - - - - -
M_K002 potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 300 godz
Punkty ECTS za moduł 12 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 120 godz
Przygotowanie do zajęć 77 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 96 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (60h):
  1. Całka oznaczona Riemanna

    Sumy Darboux. Warunki istnienia całki oznaczonej. Klasy funkcji całkowalnych.

  2. Definicja normy w przestrzeniach wektorowych.

    Normy całkowe, norma supremum.

  3. Własności całek oznaczonych

    Twierdzenie o zamianie zmiennych. Twierdzenia o
    wartości średniej.

  4. Całkowanie a różniczkowanie

    Podstawowy wzór rachunki całkowego (Newtona-Leibniza).

  5. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

    Definicje; własności; kryteria zbieżności; analogia z szeregami; zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa;
    kryteria Abela i Dirichleta.

  6. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

    Definicje; warunki istnienia i kryteria zbieżności.

  7. Zastosowania rachunku całkowego do geometrii

    Obliczanie długości krzywej (prostowalnej); Wyrażenie pola za pomocą całki. Wzór na objętość bryły. Pole powierzchni obrotowej. Miara Jordana.

  8. Obliczanie wielkości mechanicznych i fizycznych

    Wyznaczanie momentów statystycznych i środka ciężkości krzywej. Momenty statyczne figury płaskiej. Twierdzenia Guldina. Wyznaczenie pracy, momentów bezwładności, etc.

  9. Ciągi i szeregi funkcyjne

    Zbieżność punktowa. Zbieżność jednostajna. Kryteria zbieżności.

  10. Własności granic ciągów oraz sum szeregów funkcyjnych

    Twierdzenia o ciągłości, różniczkowalności oraz całkowalności.

  11. Szeregi potęgowe

    Promień zbieżności. Wyrażenie promienia zbieżności przez
    współczynniki. Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Twierdzenie Abela.

  12. Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy

    Szereg Taylora/Maclaurina.

  13. Elementy analizy zespolonej

    Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej; funkcje elementarne i ich własności. Pojęcie funkcji analitycznej. Zasadnicze twierdzenie algebry.

  14. Szeregi Fouriera

    Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera. Charakter zbieżności
    szeregów Fouriera. Twierdzenie Dirichleta. Tw. Pitagorasa. Nierówność Bessela dla układów funkcji ortogonalnych. Tw. Fejera.

  15. Całki Fouriera

    Przekształcenie Fouriera. Podstawowe własności przekształcenia
    Fouriera.

  16. Przestrzeń euklidesowa R^n

    Struktura algebraiczna; norma i iloczyn skalarny; metryka; topologia przestrzeni; obszary.
    Tw. o punkcie stałym dla odwzorowań zwężających w domkniętych podzbiorach R^n.

  17. Pojęcie funkcji wielu zmiennych

    Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Granice iterowane. Funkcje ciągłe w obszarze.

  18. Pochodne cząstkowe

    Różniczkowalność. Różniczka funkcji. Pochodne funkcji
    złożonych. Równanie płaszczyzny stycznej. Trójścian Freneta.

  19. Pochodna kierunkowa i gradient funkcji

    Twierdzenia o wartości średniej.

  20. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

    Twierdzenia o pochodnych mieszanych. Tw. o lokalnej różniczkowalności.

  21. Funkcje uwikłane

    Twierdzenie o istnieniu. Różniczkowalność funkcji uwikłanej.

  22. Ekstrema funkcji wielu zmiennych

    Warunki konieczne istnienia ekstremum. Warunki dostateczne istnienia ekstremum. Ekstrema globalne.

  23. Ekstrema warunkowe

    Metoda czynników nieoznaczonych Lagrange’a. Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego.

  24. Przekształcenie całkowe Fouriera
  25. Całki zależne od parametru. Całki niewłaściwe z parametrem.
  26. Rozwinięcie Taylora funkcji wielu zmiennych
Ćwiczenia audytoryjne (60h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie zadań ilustrujących zagadnienia prezentowane na wykładach.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Zaliczenia poprawkowe odpowiadają cz. pisemnej egzaminu.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Zaliczenie ćwiczeń na podstawie oceny aktywności studenta i kolokwiów pisemnych;
  2. Egzamin pisemny i ustny.
  3. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  4. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  5. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosic sie do prowadzącego zajęcia w celu omówienia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

brak

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997.
  2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.
  3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005.
  4. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 1, 2. Warszawa, PWN,
  5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.
  6. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1982.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) K. Rudol, Extensions of the Foias – Mlak spectral mapping theorem, Univ. Iagell. Acta
Math. (Zeszyty Naukowe UJ) 34, (1997), 101-111.

2) K. Rudol, Some results related to Beurling’s theorem. Univ. Iagell. Acta Math.
(Zeszyty Naukowe UJ) 38 (2000) Fasc. 38, 290-298.

3) K. Rudol, Corona theorem and isometries Opuscula Math.24 (2004).

4) K. Rudol; Spectra of subnormal pairs, Opuscula Math. 27, (2007), 301-304.

5) Z.Ambrozinski, K. Rudol, Matrices defined by frames, Opuscula Math. 29,
(2009), 365-375.

6) K. Rudol, Matrices related to some Fock space operators, Opuscula Math. 31, (2011),
289-296

7) M.Kosiek, K. Rudol, Dual algebras and A-measures, Journal of function spaces.

8) M. Malejki, Asymptotics of the discrete spectrum for complex Jacobi matrices,
Opusc. Math. 34, No. 1, 139-160 (2014).

9) M. Malejki, Approximation and asymptotics of eigenvalues of unbounded self-adjoint Jacobi matrices acting in l^2 by the use of finite submatrices, Cent. Eur. J. Math. 8, No. 1, 114-128 (2010).

10) M. Malejki, Asymptotics of large eigenvalues for some discrete unbounded Jacobi matrices.
Linear Algebra Appl. 431, No. 10, 1952-1970 (2009).

11) Majdak, Witold; Secelean, Nicolae-Adrian; Suciu, Laurian; Ergodic properties of operators in some semi-Hilbertian spaces, Linear Multilinear Algebra 61, No. 2, 139-159 (2013).

12) Majdak, Witold; Stochel, Jan; A local lifting theorem for jointly subnormal families of unbounded operators, Integral Equations Oper. Theory 69, No. 2, 233-246 (2011).

13) Majdak, Witold, A lifting theorem for unbounded quasinormal operators. (English) Zbl 1123.47011
J. Math. Anal. Appl. 332, No. 2, 934-946 (2007).

14) Szybowski, Jacek; The Conley index over a phase space for flows, Topol. Methods Nonlinear Anal. 39, No. 2, 311-333 (2012).

15) Szybowski, Jacek; A proof of the continuation property of the Conley index over a phase space,
Topol. Methods Nonlinear Anal. 31, No. 1, 139-149 (2008).

16) Szybowski, Jacek; The external multiplication for the Conley index, Topology Appl. 154, No. 8, 1703-1713 (2007).

Informacje dodatkowe:

http://home.agh.edu.pl/~rudol/