Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Algebra Liniowa z Geometrią II
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-202-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
2
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Adamus Lech (adamus@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Niezmienniki macierzy. Postać Jordana macierzy. Endomorfizmy. Geometria analityczna w przestrzeni R^3. Powierzchnie w przestrzeni. Odwzorowania wieloliniowe, formy kwadratowe.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) algebry liniowej dla (ogólnych) przestrzeni wektorowych MAT1A_U01, MAT1A_U16, MAT1A_W02, MAT1A_U02, MAT1A_W04, MAT1A_W07 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 zna podstawy geometrii analitycznej w przestrzeni trójwymiarowej, w tym równania prostej i płaszczyzny, i umie je zastosować do rozwiązywania zadań MAT1A_U01, MAT1A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 swobodnie posługuje się liczbami zespolonymi, umie wykorzystywać różne postaci liczb zespolonych, obliczać ich pierwiastki oraz rozkładać wielomiany „do postaci iloczynowej” (zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej) MAT1A_U01, MAT1A_U36, MAT1A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 umie wykorzystywać pojęcia formy kwadratowej i jej macierzy; stosuje je do sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej; wykorzystuje tę wiedzę do badania powierzchni stopnia drugiego w R^3 MAT1A_U16, MAT1A_U20, MAT1A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości własne i wektory własne macierzy, sprowadza macierze do postaci kanonicznej; potrafi wyjaśnić sens geometryczny tych pojęć MAT1A_U01, MAT1A_U36, MAT1A_U20 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U004 Znajduje jądro, obraz i macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości własne i wektory własne (oraz główne) macierzy; umie przeprowadzić diagonalizację endomorfizmu oraz sprowadzić macierz do postaci Jordana; potrafi wyjaśnić sens geometryczny tych pojęć MAT1A_U36, MAT1A_U16, MAT1A_U20, MAT1A_W04, MAT1A_U21 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem; potrafi wyartykułować, czego nie rozumie; stara się doskonalić swoje kwalifikacje matematyczne MAT1A_K01, MAT1A_K02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
90 45 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) algebry liniowej dla (ogólnych) przestrzeni wektorowych + + - - - - - - - - -
M_W002 zna podstawy geometrii analitycznej w przestrzeni trójwymiarowej, w tym równania prostej i płaszczyzny, i umie je zastosować do rozwiązywania zadań + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 swobodnie posługuje się liczbami zespolonymi, umie wykorzystywać różne postaci liczb zespolonych, obliczać ich pierwiastki oraz rozkładać wielomiany „do postaci iloczynowej” (zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej) + + - - - - - - - - -
M_U002 umie wykorzystywać pojęcia formy kwadratowej i jej macierzy; stosuje je do sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej; wykorzystuje tę wiedzę do badania powierzchni stopnia drugiego w R^3 + + - - - - - - - - -
M_U003 znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości własne i wektory własne macierzy, sprowadza macierze do postaci kanonicznej; potrafi wyjaśnić sens geometryczny tych pojęć + + - - - - - - - - -
M_U004 Znajduje jądro, obraz i macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości własne i wektory własne (oraz główne) macierzy; umie przeprowadzić diagonalizację endomorfizmu oraz sprowadzić macierz do postaci Jordana; potrafi wyjaśnić sens geometryczny tych pojęć + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem; potrafi wyartykułować, czego nie rozumie; stara się doskonalić swoje kwalifikacje matematyczne + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 250 godz
Punkty ECTS za moduł 10 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 90 godz
Przygotowanie do zajęć 52 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 101 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (45h):

1. Niezmienniki macierzy (2 godz.)

Macierze równoważne i macierze podobne. WKW na równoważność macierzy. Tw. o wyznaczniku macierzy podobnych. Ślad macierzy kwadratowej. Tw. o śladzie iloczynu macierzy. Tw. o śladzie macierzy podobnych.

2. Diagonalizacja endomorfizmów i macierzy (8 godz.)

Definicja wartości własnej, wektora własnego, widma i podprzestrzeni własnej endomorfizmu. Wykorzystanie macierzy endomorfizmu do wyznaczania jego wartości i wektorów własnych, wielomian charakterystyczny endomorfizmu. Krotność geometryczna i algebraiczna wartości własnej. Definicja endomorfizmu diagonalizowalnego. WKW na diagonalizowalność endomorfizmu.
Diagonalizowalność macierzy, wartości, wektory i podprzestrzenie własne macierzy kwadratowych. Rząd, ślad i wyznacznik macierzy diagonalizowalnej. Przykłady.

3. Przestrzenie afiniczne (2 godz.)

Definicja i własności działań i translacji o wektor w przestrzeni afinicznej. Układ współrzędnych w przestrzeni afinicznej. Podprzestrzeń afiniczna, równanie parametryczne podprzestrzeni afinicznej. Przykłady podprzestrzeni afinicznych; w szczególności, prosta i płaszczyzna (afiniczna) w R^n.

4. Geometria analityczna (8 godz.)
Metryka euklidesowa w R^n. Norma euklidesowa wektora w R^n. Standardowy iloczyn skalarny wektorów w R^n i jego własności. Nierówność Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza. Kąt między wektorami. Ortogonalność i równoległość wektorów w R^n. Iloczyn wektorowy w R^3 i jego własności. Iloczyn mieszany w R^3 i jego własności oraz interpretacja geometryczna.
Geometria analityczna w R^2 – uporządkowanie wiedzy ze szkoły średniej.
Równania płaszczyzny (normalne, ogólne, parametryczne, odcinkowe). Równania prostej (parametryczne, kierunkowe, krawędziowe). Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Odległość punktu od płaszczyzny.
Krzywe stożkowe.

5. Odwzorowania wieloliniowe (2 godz.)

Definicja odwzorowania n-liniowego, definicja i własności odwzorowania n-liniowego symetrycznego i antysymetrycznego oraz ich podstawowe własności. Wyznacznik jako przykład formy n-liniowej antysymetrycznej.

6. Przestrzenie euklidesowe (3 godz.)

Iloczyn skalarny w rzeczywistej przestrzeni wektorowej. Bazy ortogonalne, tw. o ortogonalizacji Gramma-Schmidta, przykłady. Tw. o istnienieniu dopełnienia ortogonalnego dowolnej rzeczywistej podprzestrzeni wektorowej. Macierze ortogonalne – definicja i podstawowe własności.

7. Formy kwadratowe (8 godz.)

Definicja formy kwadratowej (w przestrzeni R^n). Istnienie i definicja formy biegunowej danej formy kwadratowej. Określoność form, nierówność Schwarza (dla form). Macierz formy dwuliniowej i formy kwadratowej oraz ich własności, wyznaczanie macierzy formy kwadratowej przy zmianie bazy. Własności rzeczywistych macierzy symetrycznych.
Postać kanoniczna formy kwadratowej, sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej metodą przekształceń ortogonalnych, tw. o związku określoności macierzy ze znakami jej wartości własnych, sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a, prawo bezwładności form kwadratowych, sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej metodą Jacobiego, tw. Sylwestera

8. Powierzchnie stopnia drugiego w R^3 i krzywe stopnia drugiego w R^2 (3 godz.)

Klasyfikacja powierzchni i krzywych stopnia drugiego poprzez sprowadzanie form kwadratowych do postaci kanonicznej. Przykłady.

9. Postać Jordana macierzy (9 godz.)

Wielomian anulujący macierzy, tw. Cayley’a-Hamiltona, wielomian minimalny macierzy oraz twierdzenie o jego „minimalności”, tw. o postaci wielomianu minimalnego. Wektory główne endomorfizmu i macierzy, wektory główne endomorfizmu a jego macierz. Tożsamość Bezout’a, tw. o ograniczeniu maksymalnego rzędu wektora głównego poprzez odpowiedni wykładnik w wielomianie minimalnym. Podprzestrzenie charakterystyczne endomorfizmu i macierzy. Twierdzenie o przedstawieniu przestrzeni wektorowej jako sumy prostej podprzestrzeni charakterystycznych endomorfizmu. Postać Jordana macierzy endomorfizmu. Przykłady i zastosowania.

Ćwiczenia audytoryjne (45h):

Rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę wykładów.

Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów. Przewidziane są 3 kolokwia w
ciągu semestru.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z ćwiczeń i z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową wyznaczasię na podstawie średniej ważonej obliczonej według wzoru
    SW = 0,49SOC+0,51SOE,
    gdzie SOC jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach zaliczeń z ćwiczeń, a SOE jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW > 4.75, to OK:=5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW > 4.25, to OK:=4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW > 3.75, to OK:=4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW > 3.25, to OK:=3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW > 3.00, to OK:=3 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

brak

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. Z. Furdzik, J. Maj-Kluskowa, A. Kulczycka, M. Sękowska, Nowoczesna matematyka dla inżynierów. Część I: Algebra, Wydawnictwo AGH, Kraków, 1993
  2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002
  3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 2, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2005
  4. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa, 2011
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Adamus, Janusz; Adamus, Lech; Yeo, Anders, On the Meyniel condition for Hamiltonicity in bipartite digraphs, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 16, No. 1, 293-302, electronic only (2014).

2. Adamus, Janusz; Adamus, Lech, A degree condition for cycles of maximum length in bipartite digraphs, Discrete Math. 312, No. 6, 1117-1122 (2012).

3. Adamus, Lech; Orchel, Beata; Szymański, Artur; Wojda, A.Paweł; Zwonek, Małgorzata;
A note on t-complementing permutations for graphs, Inf. Process. Lett. 110, No. 2, 44-45 (2009).

4. Baudon, O.; Bensmail, J.; Przybyło, J.; Woźniak, M.; On decomposing regular graphs into locally irregular subgraphs, Eur. J. Comb. 49, Article ID 2413, 90-104 (2015).

5. Przybyło, Jaku; On the facial Thue choice index via entropy compression, J. Graph Theory 77, No. 3, 180-189 (2014).

6. Baudon, Olivier; Foucaud, Florent; Przybyło, Jakub; Woźniak, Mariusz;
On the structure of arbitrarily partitionable graphs with given connectivity. Discrete Appl. Math. 162, Part 1, 381-385 (2014).

7. Przybyło, Jakub, Colour-blind can distinguish colour pallets,
Electron. J. Comb. 21, No. 2, Research Paper P2.19, 6 p., electronic only (2014).

Informacje dodatkowe:

-