Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Algebra
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-301-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
3
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Prowadzący moduł:
prof. zw. dr hab. Wojda Adam Paweł (wojda@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała. Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe. Wielomiany, zasadnicze twierdzenie arytmetyki.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna najważniejsze pojęcia i twierdzenia algebry abstrakcyjnej oraz ich dowody MAT1A_W02, MAT1A_W04 Egzamin,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna niektóre zastosowania algebry w teorii kryptografii i informatyce MAT1A_W06 Aktywność na zajęciach
Umiejętności: potrafi
M_U001 Potrafi w sposób zrozumiały przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje. MAT1A_U01 Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Potrafi stworzyć nowe obiekty drogą konstruowania struktur ilorazowych. MAT1A_U05 Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 Umie operować pojęciem liczby rzeczywistej, zna przykłady liczb niewymiernych i przestępnych. MAT1A_U08 Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U004 Rozpoznaje struktury algebraiczne w zagadnieniach innych działów matematyki i dziedzin nauki. MAT1A_U17 Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Rozumie potrzebę popularnego przedstawiania laikom wybranych osiągnięć matematyki wyższej. MAT1A_K05 Egzamin
M_K002 Potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień matematycznych. MAT1A_K07 Egzamin,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna najważniejsze pojęcia i twierdzenia algebry abstrakcyjnej oraz ich dowody + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna niektóre zastosowania algebry w teorii kryptografii i informatyce + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Potrafi w sposób zrozumiały przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje. + + - - - - - - - - -
M_U002 Potrafi stworzyć nowe obiekty drogą konstruowania struktur ilorazowych. + + - - - - - - - - -
M_U003 Umie operować pojęciem liczby rzeczywistej, zna przykłady liczb niewymiernych i przestępnych. + + - - - - - - - - -
M_U004 Rozpoznaje struktury algebraiczne w zagadnieniach innych działów matematyki i dziedzin nauki. + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Rozumie potrzebę popularnego przedstawiania laikom wybranych osiągnięć matematyki wyższej. + + - - - - - - - - -
M_K002 Potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień matematycznych. + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 157 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 40 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 50 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

- Arytmetyka liczb całkowitych.

- Grupy. Funkcja phi-Eulera. Podgrupy Homomorfizm grup, grupy izomorficzne. Grupy cykliczne. Twierdzenia Cayleya, Lagrange’a. Grupa dihedralna. Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe. Podstawowe twierdzenie o izomorfizmie grup.

- Arytmetyka modularna. Twierdzenie Eulera i Małe Twierdzenie Fermata. Twierdzenie Wilsona. Chińskie twierdzenie o resztach. Residua kwadratowe i pierwiastki kwadratowe modulo. Zasady kryptografii (metody szyfrowania Rabina i RSA).

- Działanie grupy na zbiorze. Bryły platońskie. Grupa obrotów sześcianu. Twierdzenie o orbicie i stabilizatorze. Lemat Burnside’a.

- Pierścienie. Podpierścienie i ideały. Pierścienie główne. Podzielność w pierścieniach. Rozkład elementu pierścienia. Elementy pierwsze i nierozkładalne. Pierścień Dedekinda. Charakterystyka. Rzędy elementów w pierścieniu całkowitym.

- Pierścienie Gaussa. Ciąg ideałów wstępujących w pierścieniu głównym. NWD w pierścieniu głównym. Pierścienie euklidesowe. Algorytm Euklidesa. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Ciało ułamków.

- Pierścienie wielomianów nad pierścieniem Gaussa. Twierdzenie Gaussa. Kryterium Eisensteina.

- Wielomiany wielu zmiennych. Wielomiany symetryczne i podstawowe wielomiany symetryczne. Wzory Viety, podstawowe twierdzenie o wielomianach symetrycznych.

- Zasadnicze twierdzenie algebry. Rozszerzenia ciał. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie Kroneckera o istnieniu ciała rozkładu wielomianu. Dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):

Rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę wykładów

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocena z egzaminu jest średnią ocen egzaminu pisemnego i ustnego z tym, że przed przystąpieniem do egzaminu ustnego należy mieć zdany egzamin pisemny.
  3. Ocena końcowa jest średnią arytmetyczną ocen z egzaminu i ćwiczeń.
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

brak

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1980.
  2. W.J. Gilbert i W.K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT,
    Warszawa 2008.
  3. N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa 2000.
  4. W.K. Nicholson, Introduction to Abstract Algebra, Wiley 2007.
  5. Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1975.
  6. E.R. Scheinerman, Mathematics – Discrete Introduction, Brooks/Cole 2000.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Gosselin, Shonda; Szymański, Artur; Wojda, Adam Pawel
Cyclic partitions of complete nonuniform hypergraphs and complete multipartite hypergraphs;
Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 15, No. 2, 215-222, electronic only (2013).

2. Fouquet, J.L.; Thuillier, H.; Vanherpe, J.M.; Wojda, A.P.

3. Fouquet, Jean-Luc; Thuillier, Henri; Vanherpe, Jean-Marie; Wojda, Adam Paweł
On (K q ,k) stable graphs with small k.
Electron. J. Comb. 19, No. 2, Research Paper P50, 10 p., electronic only (2012).

4. Fouquet, J.-L.; Thuillier, H.; Vanherpe, J.-M.; Wojda, A.P.
On (K q ,k) vertex stable graphs with minimum size.
Discrete Math. 312, No. 14, 2109-2118 (2012).

5. Szymanski, Artur; Wojda, A.Paweł
Cyclic partitions of complete uniform hypergraphs. (English) Zbl 1204.05066
Electron. J. Comb. 17, No. 1, Research Paper R118, 12 p., electronic only (2010).

6. Adamus, Lech; Orchel, Beata; Szymański, Artur; Wojda, A.Paweł; Zwonek, Małgorzata
A note on t-complementing permutations for graphs.
Inf. Process. Lett. 110, No. 2, 44-45 (2009).

7. Szymański, Artur; Wojda, Adam Paweł
Self-complementing permutations of k-uniform hypergraphs;
Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 11, No. 1, 117-124, electronic only (2009).

Informacje dodatkowe:

Brak