Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza Matematyczna III
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-302-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
3
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Rudol Krzysztof (rudol@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Całki wielokrotne z zastosowaniami. Całki powierzchniowe. Przestrzeń mierzalna i przestrzeń z miarą. Całka Lebesge’a. Konstrukcja miary Lebesgue’a.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna pojęcie, interpretację i zastosowania całek wielowymiarowych ( w sensie Riemanna). MAT1A_W07 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna pojęcie mierzalności i przestrzeni mierzalnej oraz miary. MAT1A_U14, MAT1A_U17, MAT1A_U13 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W003 Zna pojęcie pola wektorowego, własności pól wektorowych oraz operatory związane z pojęciem pola wektorowego (rotacja, diwergencja, gradient) oraz twierdzenia i wzory (Greena, Gaussa-Ostrogradskiego, Stona). MAT1A_W07, MAT1A_W04, MAT1A_U12 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Umie obliczać i zamieniać całki wielowymiarowe oraz całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Zna zastosowania całek do zagadnień geometrycznych i fizycznych. MAT1A_U14, MAT1A_U13 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
120 60 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna pojęcie, interpretację i zastosowania całek wielowymiarowych ( w sensie Riemanna). + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna pojęcie mierzalności i przestrzeni mierzalnej oraz miary. + + - - - - - - - - -
M_W003 Zna pojęcie pola wektorowego, własności pól wektorowych oraz operatory związane z pojęciem pola wektorowego (rotacja, diwergencja, gradient) oraz twierdzenia i wzory (Greena, Gaussa-Ostrogradskiego, Stona). + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Umie obliczać i zamieniać całki wielowymiarowe oraz całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Zna zastosowania całek do zagadnień geometrycznych i fizycznych. + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 300 godz
Punkty ECTS za moduł 12 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 120 godz
Przygotowanie do zajęć 97 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 76 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (60h):
  1. Całka wielokrotna podstawowe pojęcia.

    Pojęcie całki wielokrotnej. Warunki istnienia całki wielokrotnej. Klasy funkcji całkowalnych. Podstawowe własności funkcji całkowalnych i całek wielokrotnych.

  2. Całka podwójna.

    Całka podwójna. Obliczenie całki podwójnej. Sprowadzenie całki podwójnej do iterowanej. Zamiana zmiennych. Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych.

  3. Całka potrójna.

    Całka potrójna. Obliczenie całki potrójnej. Zamiana zmiennych w całkach potrójnych. Współrzędne walcowe i sferyczne w całkach potrójnych.

  4. Zastosowania całek wielekrotnych.

    Zastosowania całek wielokrotnych w geometrii, mechanice i fizyce.

  5. Całka krzywoliniowa I rodzaju.

    Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej. Własności i obliczanie. Wyznaczenie masy, momentów statycznych i środka ciężkości krzywej, momentów bezwładności i innych.

  6. Całka krzywoliniowa II rodzaju.

    Całka krzywoliniowa funkcji wektorowej (całka krzywoliniowa skierowana). Praca pola sił. Obliczanie i własności. Związek z całką pierwszego rodzaju.

  7. Wzór Greena.

    Wzór Greena. Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania.

  8. Calka powierzchniowa I rodzaju.

    Całka powierzchniowa funkcji skalarnej. Własności. Sprowadzenie do całki podwójnej. Zastosowania.

  9. Całka powierzcnowa II rodzaju

    Całka powierzchniowa funkcji wektorowej. Strumień pola wektorowego przez powierzchnię. Związek z całką powierzchniową pierwszego rodzaju. Obliczanie całki.

  10. Dywergencja pola.

    Wzór Gaussa-Ostrogradskiego. Dywergencja.

  11. Rotacja i cyrkulacja pola.

    Cyrkulacja i rotacja pola wektorowego. Wzór Stokesa.

  12. Pola potencjalne.

    Pola potencjalne i bezźródłowe. Zagadnienie odwrotne w analizie wektorowej.

  13. Przestrzenie z miarą

    Klasy zbiorów. Zbiory borelowskie (w przypadku przestrzeni euklidesowej). Pojęcie miary. Przestrzenie z miarą.

  14. Miara Lebesgue'a

    Miara zewnętrzna. Konstrukcja miary Lebesgue’a.

  15. Całka Lebesgue'a

    Funkcje mierzalne. Ciągi funkcji mierzalnych. Funkcje proste. Całkowanie. Całka Lebesgue’a

Ćwiczenia audytoryjne (60h):
Rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.
Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie pozytywnej oceny z ćwiczeń.
Terminy zaliczeń poprawkowych są zgodne z terminami cz. pisemnej egzaminu.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Nie
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie pozytywnej oceny z ćwiczeń.
  2. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z ćwiczeń i z egzaminu.
  3. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru: SW = 1/3 OC + 2/3 OE
    gdzie OC oznacza ocenę z ćwiczeń, OE oznacza ocenę z egzaminu.
  4. W > 4.75, to OK:=5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK:=4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK:=4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK:=3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK:=3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu uzgodnienia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległosci.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997.
  2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.
  3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005.
  4. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005.
  5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.
  6. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1982.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) K. Rudol, Extensions of the Foias – Mlak spectral mapping theorem, Univ. Iagell. Acta
Math. (Zeszyty Naukowe UJ) 34, (1997), 101-111.

2) K. Rudol, Some results related to Beurling’s theorem. Univ. Iagell. Acta Math.
(Zeszyty Naukowe UJ) 38 (2000) Fasc. 38, 290-298.

3) K. Rudol, Corona theorem and isometries Opuscula Math.24 (2004).

4) K. Rudol; Spectra of subnormal pairs, Opuscula Math. 27, (2007), 301-304.

5) Z.Ambrozinski, K. Rudol, Matrices defined by frames, Opuscula Math. 29,
(2009), 365-375.

6) K. Rudol, Matrices related to some Fock space operators, Opuscula Math. 31, (2011),
289-296

7) M.Kosiek, K. Rudol, Dual algebras and A-measures, Journal of function spaces.

8) M. Malejki, Asymptotics of the discrete spectrum for complex Jacobi matrices,
Opusc. Math. 34, No. 1, 139-160 (2014).

9) M. Malejki, Approximation and asymptotics of eigenvalues of unbounded self-adjoint Jacobi matrices acting in l^2 by the use of finite submatrices, Cent. Eur. J. Math. 8, No. 1, 114-128 (2010).

10) M. Malejki, Asymptotics of large eigenvalues for some discrete unbounded Jacobi matrices.
Linear Algebra Appl. 431, No. 10, 1952-1970 (2009).

11) Majdak, Witold; Secelean, Nicolae-Adrian; Suciu, Laurian; Ergodic properties of operators in some semi-Hilbertian spaces, Linear Multilinear Algebra 61, No. 2, 139-159 (2013).

12) Majdak, Witold; Stochel, Jan; A local lifting theorem for jointly subnormal families of unbounded operators, Integral Equations Oper. Theory 69, No. 2, 233-246 (2011).

13) Majdak, Witold, A lifting theorem for unbounded quasinormal operators. (English) Zbl 1123.47011
J. Math. Anal. Appl. 332, No. 2, 934-946 (2007).

14) Szybowski, Jacek; The Conley index over a phase space for flows, Topol. Methods Nonlinear Anal. 39, No. 2, 311-333 (2012).

15) Szybowski, Jacek; A proof of the continuation property of the Conley index over a phase space,
Topol. Methods Nonlinear Anal. 31, No. 1, 139-149 (2008).

16) Szybowski, Jacek; The external multiplication for the Conley index, Topology Appl. 154, No. 8, 1703-1713 (2007).

Informacje dodatkowe:

Brak