Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Równania Różniczkowe
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-407-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
4
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Sapa Lucjan (sapa@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Podstawowy kurs równań różniczkowych.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna pojęcia i przyklady z zakrasu równaniach różniczkowych zwyczajnych. MAT1A_W07, MAT1A_W01, MAT1A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Umie rozwiązywać podstawowe typy różniczkowych zwyczajnych:o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange'a. MAT1A_U21, MAT1A_W03, MAT1A_U15, MAT1A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Umie określić własności geometryczne i stabilność rozwiązań równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. MAT1A_U22 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 Umie rozwiązywać układy liniowe równań rózniczkowych zwyczajnych. Zna rózne metody znajdowania rozwiązań. MAT1A_U21, MAT1A_U22 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna pojęcia i przyklady z zakrasu równaniach różniczkowych zwyczajnych. + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Umie rozwiązywać podstawowe typy różniczkowych zwyczajnych:o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange'a. + + - - - - - - - - -
M_U002 Umie określić własności geometryczne i stabilność rozwiązań równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. + + - - - - - - - - -
M_U003 Umie rozwiązywać układy liniowe równań rózniczkowych zwyczajnych. Zna rózne metody znajdowania rozwiązań. + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 167 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 45 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 60 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):
Wykłady:

1. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna defnicja równania
różniczkowego i jego rozwiązania, postać ogólna i normalna. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu pierwszego. Sprowadzanie równania różniczkowego rzędu n-tego do układu równań
różniczkowych rzędu pierwszego.

2. Proste typy równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange’a.

3. Równania i układy równań różniczkowych liniowych – istnienie i postać rozwiązania. Skalarne równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie Bernoulliego. Równanie Riccatiego.

4. Skalarne równanie różniczkowe n-tego rzędu.Wrońskian. Fundamentalny układ rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Obniżanie rzędu równania różniczkowego. Zasada superpozycji. Równania różniczkowe n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Metoda przewidywań.

5. Układ skalarnych równań różniczkowych rzędu pierwszego. Układ fundamentalny rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda wektorów i wartości własnych. Sprowadzanie macierzy do postaci Jordana. Rowiązywanie układu x’ = Ax przez sprowadzenie
macierzy układu do postaci Jordana.

6. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych – twierdzenie Cauchy- Kowalewskiej. Osobliwe punkty regularne równań rzędu drugiego. Równanie indeksowe. Szeregi Frobeniusa.

7. Lemat Gronwalla. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych. Stabilność, lokalna asymptotyczna
stabilność i globalna asymptotyczna stabilnośc rozwiązania równania różniczkowego – defnicje. Twierdzenie Lapunowa. Zastosowanie do układu x’ = Ax i do równania skalarnego x’ = f(x). Problem Routha-Hurwitza.

8. Punkty krytyczne równań różniczkowych i ich klasyfkacja. Portrety fazowe. Zbiory graniczne i ich własności, cykl graniczny.

9. Zagadnienia brzegowe dla równań drugiego rzędu, operator Sturma-Liouville’a.

10. Całki pierwsze układu równań. Podstawowe własności całek pierwszych i przykłady ich wyznaczania.

11. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu. Definicja rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego. Równania charakterystyk i ich związek z rozwiązaniem równania cząstkowego. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą charakterystyk Przykłady.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Ćwiczenia:

Program ćwiczeń zgodny z programem wykładów.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Nie
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Przewidywany jest egzamin pisemny oraz egzamin ustny. Ocena końcowa to średnia arytmetyczna z zaliczenia i egzaminu, która może być w wyniku egzaminu podniesiona o jeden stopień.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
Literatura

1. J. Myjak, Równania różniczkowe, (tekst maszynopisowy).

2. A. Pelczar, J. Szarski, Wstęp do równan różniczkowych zwyczajnych, t.I, PWN, Warszawa 1984.

3. A. Pelczar, Wstęp do teorii równań różniczkowych zwyczajnych, t.II, PWN, Warszawa 1989.

4. J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych, Kraków 1996.

5. B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Lódż 2005.

6. A.F. Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1961, 2004.

Literatura uzupełniająca

1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne, Oficyna Wydawnicza GiS, 2002.

2. R.P. Agarwal, D. O’Reagqn, An introduction to ordinary differential equations, Springer, 2008.

3. C. Chicaro, Ordinary differential equations with applications, Springer 2006.

4. R.E. O’Malley, An introduction to ordinary differential equations, SIAM Rev. 51, 2009.

5. J. Myjak, Generic flows generated by continuous vector fields in Banach spaces, Advances in Math., 23(1983)

6. J. Myjak, Orlicz type category theorems for functional and differential equations, Dissertationes Mathematicae, 50(1983).

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. J. Myjak, Generic flows generated by continuous vector fields in Banach spaces, Advances in Math., 23(1983).

2. J. Myjak, Orlicz type category theorems for functional and differential equations, Dissertationes Mathematicae, 50(1983).

3. J. Myjak, Równania różniczkowe, (tekst maszynopisowy) 2014.

4. Gacki, H.; Lasota, A.; Myjak, J.; Upper estimate of concentration and thin dimensions of measures,
Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 57, No. 2, 149-162 (2009).

5. de Blasi, Francesco S.; Myjak, Józef; Reich, Simeon; Zaslavski, Alexander J.;
Generic existence and approximation of fixed points for nonexpansive set-valued maps;
Set-Valued Var. Anal. 17, No. 1, 97-112 (2009).

Informacje dodatkowe:

Brak