Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Symmetries and Solvability of Ordinary Differential Equations
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-1-603-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
6
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Vladimirov Vsevolod (vladimir@mat.agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Extension of the ODEs course.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Student knows the foundations of theory of Lie groups of transformations. Student understands links between the local Lie groups and their generators. Student knows the foundations of the theory of invariants and is familiar with the concept of prolongation of the Lie group of transformation onto the jet space. Student knows the criterium of invariance of the system of differential equations, and is familiar with its practical implementation. Student is able to apply the Lie algorithm for studying the symmetry of the ordinary differential equations (ODEs to abbreviate) and knows how and when it is possible to implement the symmetry of nonlinear ordinary differential equations. MAT1A_W01, MAT1A_W03, MAT1A_W02 Aktywność na zajęciach,
Odpowiedź ustna,
Wykonanie ćwiczeń
M_W002 Student is able to write down a system of defining equations. Student can implement the procedure of splitting the system of defining equations. Student knows the procedures enabling to find out the invariants of the symmetry group, canonical coordinates and the integrating factor in the case of the first order ODE. MAT1A_W08, MAT1A_W07 Aktywność na zajęciach,
Odpowiedź ustna,
Wykonanie ćwiczeń
Umiejętności: potrafi
M_U001 Student can implement the knowledge of the infinitesimal operators admitting by the ODE. Student knows how to find out the elementary symmetries of a given ODE (such as scalings and shifts) without implementing the Sophus Lie machinery. MAT1A_U15 Aktywność na zajęciach,
Wykonanie ćwiczeń
M_U002 Student can use the symmetry of a nonlinear ODEs for finding out their solutions or lowering the order (in the case of higher-order ODEs). Student is able to formulate the problem of the group-theory classification of a family of ODEs. Student possesses the practical skill of solving the scalar ODEs of the first and the second order, using their symmetries. MAT1A_U06, MAT1A_U22 Aktywność na zajęciach,
Wykonanie ćwiczeń
M_U003 Student use foreign language at intermediate level (B2). MAT1A_U37 Aktywność na zajęciach
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Student can notice symmetry of surrounding world and understands the role of symmetry in modeling the nonlinear phenomena. MAT1A_K07, MAT1A_K06 Aktywność na zajęciach,
Wykonanie ćwiczeń
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Student knows the foundations of theory of Lie groups of transformations. Student understands links between the local Lie groups and their generators. Student knows the foundations of the theory of invariants and is familiar with the concept of prolongation of the Lie group of transformation onto the jet space. Student knows the criterium of invariance of the system of differential equations, and is familiar with its practical implementation. Student is able to apply the Lie algorithm for studying the symmetry of the ordinary differential equations (ODEs to abbreviate) and knows how and when it is possible to implement the symmetry of nonlinear ordinary differential equations. + - - - - - - - - - -
M_W002 Student is able to write down a system of defining equations. Student can implement the procedure of splitting the system of defining equations. Student knows the procedures enabling to find out the invariants of the symmetry group, canonical coordinates and the integrating factor in the case of the first order ODE. + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student can implement the knowledge of the infinitesimal operators admitting by the ODE. Student knows how to find out the elementary symmetries of a given ODE (such as scalings and shifts) without implementing the Sophus Lie machinery. + - - - - - - - - - -
M_U002 Student can use the symmetry of a nonlinear ODEs for finding out their solutions or lowering the order (in the case of higher-order ODEs). Student is able to formulate the problem of the group-theory classification of a family of ODEs. Student possesses the practical skill of solving the scalar ODEs of the first and the second order, using their symmetries. + - - - - - - - - - -
M_U003 Student use foreign language at intermediate level (B2). + - - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Student can notice symmetry of surrounding world and understands the role of symmetry in modeling the nonlinear phenomena. + - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 79 godz
Punkty ECTS za moduł 3 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 godz
Przygotowanie do zajęć 35 godz
przygotowanie projektu, prezentacji, pracy pisemnej, sprawozdania 14 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Separable ODEs of the first order. A brief review of the cases reducing to the separable equations via the changes of variables. Second-order ODEs. Classes enabling reduction of the order. Nonlinear ODEs that can be reduced to the linear ones.

2. Local Lie group. One-parametric local Lie group of transformations.
Canonical parameter. Generator of a Lie group of transformation (IFG) and its geometric interpretation. The first
fundamental Lie theorem.

3. Exponential map. Lie group induced by a diffeomorphism. Transformation of coordinates of IFG
induced by the change of variables. Canonical coordinates.

4. Invariance of a function. Algebraic manifold and its invariance. One-paremetric Lie group defined
on a set of dependent and independent variables.

5. Jet space. Theory of prolongation. Criterium of invariance of differential equations. Defining
equations.

6. Employment of the symmetry of a first order scalar ODE: passage to canonical coordinates; integrating factor. Differential invariants and inverse problem of the group analysis.

7. Multi-parameter Lie group. Algebraic structure of vector fields admitted by the given ODE. Lie algebra of vector fields. Finding the differential invariants of arbitrary order.

8. Second-order scalar ODEs: implementation of the Lie algorithm of finding symmetry. Solvable Lie algebra. Employment of multi-dimension Lie algebras for solving the second-order scalar ODEs. Canonical coordinates and classification of ODEs admitting two-dimensional Lie algebras.

9. Linearizability of Riccati-type equations. Criterium of linearizability of a second-order scalar nonlinear ODE

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

-

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa jest obliczana na podstawi obecności oraz samodzielnej pracy w formie odrabiania zadań domowych

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. P. Olver, Application of lie Groups to Differential Equations, Springer, NY, 1993.

2. G. Bluman , S. Kumei, Symmetries and Differential Equations,
Springer, NY, 1989.

3. H. Stephani, Differential Equations: Their Solutions Using
Symmetries, Cambridge Univ. Press, NY, 1989.

4. G. Baumann, Symmetry Analysis of Differential Equations with
Mathematica, Springer, NY, 2000.

5. N. Ibragimov, Transformation Groups Applied to Mathematical
physics, Reidel, Boston, 1985.

6. N. Ibragimov (Ed.), CRC Handbook on Group Analysis. Vol.
I-III, Boca Rata, 1994.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Likus, W.; Vladimirov, V.A.
Solitary waves in the model of active media, taking into account effects of relaxation; Rep. Math. Phys. 75, No. 2, 213-230 (2015).

2. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, V.S.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Exact solutions and wave patterns within some non-local hydrodynamic-type models;
Algebras Groups Geom. 31, No. 4, 407-477 (2014).

3. Vladimirov, V.A.; Morgulis, A.B.
Relative equilibria in the Bjerknes problem. (English. Russian original);
Sib. Math. J. 55, No. 1, 35-48 (2014); translation from Sib. Mat. Zh. 55, No. 1, 44-60 (2014).

4. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, S.S.jun.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Group analysis of reaction-diffusion-convection of nonlinear equations;
Algebras Groups Geom. 30, No. 3, 275-365 (2013).

5. Vladimirov, V.A.
Dumbbell micro-robot driven by flow oscillations; J. Fluid Mech. 717, R8, 11 p., electronic only (2013).

6. Vladimirov, V.A.
On the self-propulsion of an N-sphere micro-robot; J. Fluid Mech. 716, R1, 11 p., electronic only (2013).

7. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, N.M.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Algebra-invariant models for nonlinear nonlocal media;
Algebras Groups Geom. 29, No. 3, 309-376 (2012).

8. Vladimirov, V.A.; Ma̧czka, Cz.;
On the stability of kink-like and soliton-like solutions of the generalized convection-reaction-diffusion equation; Rep. Math. Phys. 70, No. 3, 313-329 (2012).

9. Vladimirov, V.A.; Magnetohydrodynamic drift equations: from Langmuir circulations to magnetohydrodynamic dynamo? J. Fluid Mech. 698, 51-61 (2012).

10. Vladimirov, V.A.; Kutafina, E.V.; Zorychta, B.
On the non-local hydrodynamic-type system and its soliton-like solutions;
J. Phys. A, Math. Theor. 45, No. 8, Article ID 085210, 12 p. (2012).

11. Vladimirov, V.A.; Ma̧czka, Cz.
On the stability of some exact solutions to the generalized convection-reaction-diffusion equation; Chaos Solitons Fractals 44, No. 9, 677-684 (2011).

Informacje dodatkowe:

Brak