Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
ZSDA-3-0239-s
Wydział:
Szkoła Doktorska AGH
Poziom studiów:
Studia III stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Szkoła Doktorska AGH
Semestr:
0
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Kużel Sergiusz (kuzhel@agh.edu.pl)
Dyscypliny:
automatyka, elektronika i elektrotechnika, informatyka techniczna i telekomunikacja, matematyka, nauki fizyczne
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Studenci zdobywają wiedzę o matematycznych podstawach zaawansowanej mechaniki kwantowej.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii operatorów samosprzężonych, teorii prawdopodobieństwa. SDA3A_W02, SDA3A_W01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_W002 Posiada pogłębioną wiedzę na temat teorii spektralnej oraz potrafi omówić konkretne przykłady Hamiltonianów mechaniki kwantowej SDA3A_W03, SDA3A_W01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_W003 Rozumie znaczenie postulatów mechaniki kwantowej SDA3A_W03, SDA3A_W02, SDA3A_W05 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
Umiejętności: potrafi
M_U001 Zna zasady metody kwantowania oraz potrafi obliczyć widmo szczególnych Hamiltonianów SDA3A_U01, SDA3A_U04 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_U002 Rozumie w jaki sposób teoria operatorów samo sprzężonych może być zastosowana w badaniach mechaniki kwantowej SDA3A_U02, SDA3A_U01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii operatorów samosprzężonych, teorii prawdopodobieństwa. + - - - - - - - - - -
M_W002 Posiada pogłębioną wiedzę na temat teorii spektralnej oraz potrafi omówić konkretne przykłady Hamiltonianów mechaniki kwantowej + + - - - - - - - - -
M_W003 Rozumie znaczenie postulatów mechaniki kwantowej - + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Zna zasady metody kwantowania oraz potrafi obliczyć widmo szczególnych Hamiltonianów - - - - - - - - - - -
M_U002 Rozumie w jaki sposób teoria operatorów samo sprzężonych może być zastosowana w badaniach mechaniki kwantowej - - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 126 godz
Punkty ECTS za moduł 5 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 28 godz
przygotowanie projektu, prezentacji, pracy pisemnej, sprawozdania 4 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 28 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 4 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

PL
1. Wstępne pojęcia matematyczne. Operatory domknięte i domykalne w przestrzeni Hilberta. Różnica między operatorami ograniczonymi a nieograniczonymi. Pojęcia operatora sprzężonego. Operatory symetryczne i samosprzężone. Części widma oraz ich sens fizyczny. Specjalne klasy operatorów samosprzężonych. Widmo operatora mnożenia. Funkcja spektralna operatora samosprzężonego. Opis widma za pomocą funkcji spektralnej. Relacje komutacyjne. Funkcje operatorów samosprzężonych. Przykłady zastosowania rachunku funkcyjnego dla operatorów samosprzężonych. Grupy operatorów unitarnych. Twierdzenie Stone’a.

2. Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej. Sformułowanie głównych postulatów mechaniki kwantowej. Stany i obserwable. Związek pomiędzy obserwablami a operatorami samosprzężonymi. Rola widma w pomiarze obserwabli. Sens fizyczny wartości własnych. Koncepcja jednocześnie wymiernych obserwabli. Uniwersalny dualizm korpuskularno-falowy. Operator energii (Hamiltonian). Równanie Schrödingera. Reprezentacje Schrodingera i Heisenberga mechaniki kwantowej.

3. Różniczkowanie obserwabli względem czasu. Metody kwantyzacji. Relacje komutacyjne Heisenberga. Sprzężone obserwabli. Relacja nieoznaczoności. Relacja nieoznaczoności położenie-pęd.

4. Oscylator harmoniczny. Operatory anihilacji i kreacji. Swobodna cząstka w przestrzeni 3D. Spin cząstki. Fermiony i bozony. Identyczne cząstki.

5. Radialne równanie Schrödingera. Rozpraszania teoria. Rozpraszanie cząstek Rozpraszanie cząstek na potencjale. Teoria rozpraszania Laxa-Philipsa.

6. Superpozycja kwantowa. Paradoks kota Schrödingera. Idea kryptografii kwantowej.

7. Twierdzenie Naimarka o dylatacji i jego zastosowanie w teorii POVM.

8. Koncepcja PT-symetrycznej mechaniki kwantowej. Obserwable jak operatory samosprzężone w przestrzeni Kreina. Koncepcja nieokreślonej metryki. C-symetria i niezłamana PT-symetria. Osobliwości spektralne, wyjątkowe punkty i zastosowanie w optyce.

EN
1. Mathematical preliminaries. Closed and closable operators in a Hilbert space. The difference between bounded and unbounded operators. The concept of adjoint operator. Symmetric and self-adjoint operators. The parts of the spectrum and their physical meaning. Special classes of self-adjoint operators. The spectrum of the multiplication operator. Spectral function of a self-adjoint operator. Description of spectrum in terms of spectral function. Commutation relations. Functions of a self-adjoint operators. Examples of application of functional calculus for self-adjoint operators. One-parameter groups of unitary operators. Stone theorem.

2. General concepts of Quantum mechanics. Formulation of basic postulates of QM. States and observables in QM. Relationship between observables and self-adjoint operators. The role of spectrum in the measurement of observables. Physical meaning of eigenvalues. The concept of simultaneously measurable observables. Universal wave-particle duality. The energy operator (Hamiltonian) Schrodinger equation. Schrodinger and Heisenberg pictures of QM.

3. Time differentiation of observables. Quantization methods. Heisenberg commutation relations. Canonically conjugate observables. Uncertainty relations. Heisenberg uncertainty relations.

4. Harmonic oscillator. Annihilation and creation operators The free particle in 3D-space. Particles with spin. Fermions and bosons. Identical particles.

5. The radial Schrodinger equation. Scattering theory. Scattering of a one-dimensional particle by a potential barrier. Scattering by a potential center. The Lax-Phillips scattering.

6. Quantum superposition. The Schrodinger’s cat paradox. The idea of quantum cryptography.

7. Naimark dilation theorem and its application in Positive Operator Valued Measures theory (POVM’s)

8. The concept of PT-symmetric Quantum Mechanics. Observables as self-adjoint operators in Krein space. The concept of the indefinite metric. C-symmetry and unbroken PT-symmetry. Spectral singularities, exceptional points and application in optics.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):

Zajęcia ćwiczeniowe

Ilustracja tematów prezentowanych podczas wykładów. Dyskusja i rozwiązanie różnych przykładów i konkretnych problemów.

Auditorium classes

Illustration of topics presented during lectures. Discussion and solution of various examples and particular problems.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie klasycznego wykładu tablicowego
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest aktywność na zajęciach, dopuszczalne są trzy nieobecności (na wykładach / ćwiczeniach).

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Nie określono
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Nie określono
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa zależeć będzie przede wszystkim od oceny egzaminu i aktywności na zajęciach, zarówno na wykładach jak i ćwiczeniach,

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Zapoznanie się z materiałem dotyczącym tematu omawianego na zajęciach, na których student był nieobecny.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Podstawowa wiedza z zakresu analizy funkcjonalnej i teorii prawdopodobieństwa

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. Leon A. Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians, Graduate Studies in Mathematics, v. 95, AMS, 2008.

2. L.D. Faddeev and O.A. Yakubovskii, Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students, Student Math. Library, v. 47, AMS, 2000.

3. F.A. Berezin and M.A. Shubin, Schrödinger Equation, Kluwer, 1991.

4. John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, Princeton University Press, 1996.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Carl M. Bender, Patric E. Dorey, Clare Dunning, Andreas Fring, Daniel W. Hook, Hugh F. Jones, Sergii Kuzhel, Géza Lévai, Roberto Tateo, PT-Symmetry : In Quantum and Classical Physics — London : World Scientific Publishing Europe Ltd., cop. 2019. — XXII, 446 s.

2. S. Albeverio and S. Kuzhel, PT-Symmetric Operators in Quantum Mechanics: Krein Spaces Methods, in `Non-Selfadjoint Operators in Quantum Physics: Mathematical Aspects’, Fabio Bagarello, Jean-Pierre Gazeau, Franciszek H. Szafraniec, and Miloslav Znojil, editors, 2015 John Wiley Sons, Inc.

3. Sergii Kuzhel, Miloslav Znojil, Non-self-adjoint Schrödinger operators with nonlocal one-point interactions// Banach Journal of Mathematical Analysis ; 2017 vol. 11 no. 4, s. 923–944.

4. P. A. Cojuhari, A. Grod, S. Kuzhel, On the S-matrix of Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials // Journal of Physics. A; 2014 vol. 47 iss. 31,

5. Carl M. Bender, Sergii Kuzhel, Unbounded C-symmetries and their nonuniqueness // Journal of Physics. A; 2012 vol. 45 no. 44 spec. iss., s

6. U. Gunther, S. Kuzhel, PT-symmetry, Cartan decompositions, Lie triple systems and Krein space-related Clifford algebras // J. Phys. A 43 (2010), № 39, 392002,

7. S. Albeverio and S. Kuzhel, Pseudo-Hermiticity and theory of singular perturbations // Lett. Math. Phys., 67 (2004), no. 3, 223—238.

Informacje dodatkowe:

Brak