Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Metody Monte Carlo oraz symulacje stochastyczne - aspekty teoretyczne oraz implementacyjne
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
ZSDA-3-0248-s
Wydział:
Szkoła Doktorska AGH
Poziom studiów:
Studia III stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Szkoła Doktorska AGH
Semestr:
0
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
Dyscypliny:
matematyka
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

In recent years dynamical systems, describing many models in mathematics, physics and finances, become more and more complex. Numerical analysis narrowed only to deterministic algorithms seems to be insufficient for such systems. Therefore, we can observe increasing popularity of Monte Carlo algorithms. We present main ideas of Monte Carlo methods, its theoretical properties and theirs application to option pricing.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia, zna podstawy modelowania stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej lub w naukach przyrodniczych, w szczególności fizyce, chemii lub biologi SDA3A_W02 Aktywność na zajęciach,
Projekt
M_W002 zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązań zagadnień matematycznych (na przykład równań różniczkowych) stawianych przez dziedziny stosowane (np. technologie przemysłowe, zarządzanie itp.) SDA3A_W03, SDA3A_W01 Projekt,
Aktywność na zajęciach
Umiejętności: potrafi
M_U001 rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, procesów obliczeniowych oraz związanych z nimi problemów SDA3A_U02, SDA3A_U01, SDA3A_U04 Projekt,
Aktywność na zajęciach
M_U002 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować metody Monte Carlo oraz procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji SDA3A_U07, SDA3A_U06, SDA3A_U01 Projekt,
Aktywność na zajęciach
M_U003 potrafi implementować znane algorytmu lub też konstruować nowe o porządanych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych SDA3A_U07, SDA3A_U06, SDA3A_U04, SDA3A_U03 Projekt,
Aktywność na zajęciach
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter SDA3A_K01, SDA3A_K03, SDA3A_K02 Projekt,
Aktywność na zajęciach
M_K002 rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie SDA3A_K03, SDA3A_K02 Projekt,
Aktywność na zajęciach
M_K003 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w języku obcym SDA3A_K02 Projekt,
Aktywność na zajęciach
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia, zna podstawy modelowania stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej lub w naukach przyrodniczych, w szczególności fizyce, chemii lub biologi + - - - - - - - - - -
M_W002 zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązań zagadnień matematycznych (na przykład równań różniczkowych) stawianych przez dziedziny stosowane (np. technologie przemysłowe, zarządzanie itp.) + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, procesów obliczeniowych oraz związanych z nimi problemów + - - - - - - - - - -
M_U002 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować metody Monte Carlo oraz procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji + - - - - - - - - - -
M_U003 potrafi implementować znane algorytmu lub też konstruować nowe o porządanych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych + - - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter + - - - - - - - - - -
M_K002 rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie + - - - - - - - - - -
M_K003 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w języku obcym + - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 75 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 godz
Przygotowanie do zajęć 15 godz
przygotowanie projektu, prezentacji, pracy pisemnej, sprawozdania 30 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Basic definitions and theorems from probability. Main ideas of Monte Carlo methods and stochastic simulation. Empirical variance and confidence intervals.

2. Introduction to programming in Python language. Random numbers generation in Python.

3. Monte Carlo methods for integration, curse of dimensionality for deterministic qubatures.

4. Randomized algorithms (Euler and Runge-Kutta) for approximation of solution of deterministic ordinary differential equations.

5. Basic definitions and theorems from theory of stochastic processes, definitions of Wiener, homogeneous Poisson processes, compound Poisson process. Brownian bridge construction.

6. Basic properties of stochastic integral driven by Wiener and Poisson processes. Ito formula and definition of solution of stochastic differential equation in the jump-diffusion case (SDE).

7. Main properties of solutions of SDEs in the Gaussian case and jump-diffusion case (existence and uniqueness of strong solution, mean square regularity and boundedness of solution).

8. Euler and Milstein algorithms for strong approximation of solutions of SDEs. Their mean square error. Purely Gaussian and jump-diffusion cases.

9. General information about Ito-Taylor schemes of higher order (Wagner-Platen scheme, multiple Ito integrals, problems with implementation).

10. Randomized methods for strong approximation of solutions of SDEs.

11. Issues of optimality in the context of Information-Based Complexity.

12. Monte Carlo methods for weak approximation of SDEs, Feynman–Kac formula. Application to option pricing (Black-Scholes model, Merton and Kou jump-diffusion models).

We will also present exemplary implementation of chosen algorithms in Python programming language.

In addition, students will work on a larger individual project that combines theoretical knowledge, gained during lectures, with programming skills.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Lectures and exemplary implementation of algorithms in Python programming language.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

The final grade is equal to the grade obtained for the individual project.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Presence is obligatory, 2 unjustified absences allowed.
Sposób obliczania oceny końcowej:

The final grade is equal to the grade obtained for the individual project.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

In the case of absence the students are obligated to prepare the material for the next classes on their own.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Basic knowledge of ordinary differential equations, numerical analysis and probability theory.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. Kloeden, P.E., Platen, E., Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1992.
2. Janicki, A., Izydorczyk, A., Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym. in Polish, WNT Warszawa, 2001.
3. Kloeden, P.E., Platen, E., Schurz, H., Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1994.
4. Karatzas, I., Shreve, S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York, 1998.
5. S. Asmussen, P. W. Glynn, Stochastic Simulation – Algorithms and Analysis, Springer Science, 2007.
6. P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer Science, 2004.
7. J.F. Traub, G.W. Wasilkowski, H. Woźniakowski, Information—Based Complexity, Academic Press, New York, 1988.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Przybyłowicz P. (2009), „Linear Information for Approximation of the Itô Integrals”, Numerical Algorithms 52, 677-699,

2. Przybyłowicz P. (2010), „Adaptive Itô-Taylor algorithm can optimally approximate the Itô integrals of singular functions” , Journal of Computational and Applied Mathematics 235, 203-217,

3. Przybyłowicz P. (2013), „Optimal sampling design for approximation of stochastic Itô integrals with application to the nonlinear Lebesgue integration”, Journal of Computational and Applied Mathematics 245, 10-29,

4. Przybyłowicz P. (2014), „Optimality of Euler-type algorithms for approximation of stochastic -differential equations with discontinuous coefficients”, International Journal of Computer Mathematics 91, 1461-1479

5. Przybyłowicz P., Morkisz P. (2014), „Strong approximation of solutions of stochastic differential equations with the time-irregular coefficients via randomized Euler algorithm”, Applied Numerical Mathematics 78, 80-94,

6. Przybyłowicz P. (2015), „Minimal asymptotic error for one-point approximation of SDEs with time-irregular coefficients”, Journal of Computational and Applied Mathematics 282, 98-110

7. Przybyłowicz P. (2015), „Global approximation with minimal asymptotic error of SDEs with time-irregular coefficients ” , Applied Mathematics and Computation 270, 441-457

8. Przybyłowicz P. (2016), „Optimal global approximation of stochastic differential equations with additive Poisson noise”, Numerical Algorithms 73, 323-348

9. Dębowski J., Przybyłowicz P. (2016), „Optimal approximation of stochastic integrals with respect to a homogeneous Poisson process”, Mediterranean Journal of Mathematics 13, 3713-3727

10. Morkisz P. M., Przybyłowicz P. (2017), „Optimal pointwise approximation of SDE’s from inexact information”, Journal of Computational and Applied Mathematics 324, 85-100

11. Kałuża A., Przybyłowicz P. (2018), „Optimal global approximation of jump-diffusion SDEs via path-independent step-size control”, Applied Numerical Mathematics 128, 24-42

12. Przybyłowicz P. (2019), „Optimal sampling design for global approximation of jump diffusion stochastic differential equations”, Stochastics 91, 235-264

13. Przybyłowicz P. (2019), “Efficient approximate solution of jump-diffusion SDEs via path-dependent adaptive step-size control”, Journal of Computational and Applied Mathematics 350, 396-411

14. Kałuża A., Morkisz P. M., Przybyłowicz P. (2019), „Optimal approximation of stochastic integrals in analytic noise model”, Applied Mathematics and Computation 356, 74-91

Informacje dodatkowe:

Brak